Dés d'Efron

Thèmes: Espaces probabilisés finis
 
 
 
 
 
Si A est meilleur que B, si B est meilleur que C, si C est meilleur que D, alors bien sûr D est meilleur que A !

Cette déduction naturelle repose en fait sur l'hypothèse de transitivité, et nous allons voir que celle-ci n'est pas toujours vérifiée!
 
Considérons quatre à six faces, non truqués, dont les faces sont numérotées de la façon suivante:
  • le dé $A$ dispose de deux faces avec le chiffre $0$ et de quatre faces avec le chiffre $4$;
  • le dé $B$ de six faces avec le chiffre $3$;
  • le dé $C$ de quatre faces avec le chiffre $2$ et de deux faces avec le chiffre $6$;
  • le dé $D$ de trois faces avec le chiffre $1$ et de trois faces avec le chiffre $5$.

Lorsqu'on lance ces quatre dés, on dira qu' un dé l'emporte sur un autre, lorsque le chiffre donné par le premier dé est supérieur strictement à celui donné par le second.

Calculons la probablité de l'évènement " A l'emporte sur B ". Cela signifie que le dé $A$ a donné le chiffre $4$ et le dé $B$ a donné le chiffre $3$. Comme les dés sont non truqué, un simple dénombrement donne que:

$$\mathbb{P}(\hbox{" A l'emporte sur B "})=\frac{4\times 6}{6\times 6}=\frac{2}{3}$$

De même $B$ l'emporte sur $C$ lorsque le dé $C$ lorsque $C$ donne le chiffre $2$, donc:

 $$\mathbb{P}(\hbox{" B l'emporte sur C "})=\frac{6\times 4}{6\times 6}=\frac{2}{3}$$
 
$C$ l'emporte sur $D$ lorsque le dé $C$ donne $2$ et le dé $D$ donne $1$, ou bien lorsque le dé $C$ donne $6$, donc:
 
$$\mathbb{P}(\hbox{" C l'emporte sur D "})=\frac{4\times 3+2\times 6}{6\times 6}=\frac{2}{3}$$
 
et $D$ l'emporte sur $A$ lorsque le dé $D$ donne $1$ et le dé $A$ donne $0$, ou bien lorsque le dé $D$ donne $5$, donc:
 
$$\mathbb{P}(\hbox{" D l'emporte sur A "})=\frac{3\times 2+3\times 6}{6\times 6}=\frac{2}{3}$$
Il est remarquable que chaque dé l'emporte sur son "suivant" avec la même probabilité $\frac{2}{3}$ !
 
Cet exemple est connu sous le nom des dés intransitifs d'Efron, et date de $1970$.
 
 
Source: JP Delahaye, Pour la Science n°426 Avril 2013