Problèmes historiques

Thèmes: Espaces probabilisés finis - Indépendance
 
 
 
 
 
  • Problème du prince de Toscane. Le  Prince de Toscane  demande à Galilée pourquoi,  en lançant trois dés,  on obtient  plus souvent un  total de  10 qu'un total de 9, alors qu'il  y a  dans les  deux cas exactement  6 façons  d'obtenir ces résultats.

Solution. Pourtant, il y a six façons d'obtenir $9$:
$$\{6,2,1\}\quad \{5,3,1\}\quad \{5,2,2\}\quad \{4,4,1\}\quad \{4,3,2\}\quad \{3,3,3\}$$

et six façons d'obtenir $10$:

$$\{6,3,1\}\quad\{6,2,2\}\quad\{5,4,1\}\quad \{5,3,2\}\quad \{4,4,2\}\quad \{4,3,3\}$$

Pour modéliser la situation, numérotons les dés. Un lancer correspond donc à un triplet de chiffres entre 1 et 6 et l'univers $\Omega$ est: $\Omega=[\![1,6]\!]$.

Au total, il y a donc $6^3$ lancers possibles.

Il y a $3!$ triplets donnant les chiffres $\{6,2,1\}$, et autant pour les chiffres $\{5,3,1\}$ et $\{4,3,2\}$. Pour $\{5,2,2\}$, le chiffre 2 apparaît deux fois : il y a donc $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ triplets donnant les chiffres $\{5,2,2\}$,et autant pour les chiffres $\{4,4,1\}$. Enfin il y a un unique triplet donnat les chiffres $\{3,3,3\}$.

Au total, on a a donc $6+6+6+3+3+1=25$ triplets donnant un total de $9$. Comme tous les triplets sont équiprobables, la probabilité d'obtenir un total $9$ est $\displaystyle\frac{25}{6^3}$.

Un calcul similaire permet d'obtenir que la probabilité d'obtenir un total de $10$ est $\displaystyle\frac{6+6+6+3+3+3}{6^3}=\frac{27}{6^3}$.

Comme $27>25$, on a donc bien démontré qu'on obtient plus souvent un total de $10$ qu'un total de $9$.

 

 
 
  • Problème du chevalier de Méré. Le Chevalier  de Méré  soutient à  Pascal que  les  deux jeux suivants sont favorables  au joueur: obtenir au moins un  6 en lançant 4 fois de suite un dé, et obtenir  au moins un double 6 en lançant 24 fois de suite 2 dés. Qu'en est-il vraiment?

Solution. Pour le vérifier, calculons la probabilité de l'évènement contraire de "obtenir au moins un six". Il s'agit de l'évènement "n' obtenir aucun six".

Par indépendance des résultats obtenus à chacun des 4 lancers, la probabilité de "n' obtenir aucun six" est $\displaystyle\left(\frac{5}{6}\right)^4$, et donc la probabilité "d' obtenir au moins un six" est $\displaystyle 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4>\frac{1}{2}$.

Le premier jeu du Chevalier de Méré est donc favorable au joueur.

Adaptons la méthode précédente pour le deuxième jeu: calculons la probabilité de l'évènement contraire de "obtenir au moins un double six". Il s'agit de l'évènement "n' obtenir aucun double six".

Par indépendance des résultats obtenus à chacun des $4$ lancers, la probabilité de "n' obtenir aucun double six" est $\displaystyle\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ donc la probabilité "d' obtenir au moins un six" est $\displaystyle 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}<\frac{1}{2}$.

Le second jeu du Chevalier de Méré est donc défavorable au joueur.