Le point sur les urnes

Thèmes: Espaces probabilisés finis - Indépendance
 
 
 
 
 
  • Le point sur les urnes. On dispose d'une urne avec $8$ boules blanches, $7$ boules noires et $5$ boules vertes.
a) On effectue un tirage simultané de $5$ boules dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes?
 
b) On effectue $5$ tirages successifs et sans remise d'une boule dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes? Quelle est la probabilité d'obtenir $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes dans cet ordre?
(on proposera deux méthodes différentes)

c) On effectue $5$ tirages successifs et avec remise  d'une boule dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes? Quelle est la probabilité d'obtenir $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes dans cet ordre
(on proposera deux méthodes différentes)

Solution. a) Un tirage simultané de $5$ boules parmi $20$ correspond à une combinaison de $5$ boules parmi $20$. Donc l'univers $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons de 5 boules parmi 20 et $\hbox{Card} (\Omega)=\displaystyle\binom{20}{5}$.

On note A l'évènement: "le tirage donne $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes". Pour que $A$ se réalise, on a $\displaystyle\binom{8}{2}$ choix de deux boules blanches parmi $8$, $\displaystyle \binom{ 7 }{ 1 } $ choix d'une boule noire parmi $7$ et $ \displaystyle \binom{ 5 }{ 2 } $ choix de deux boules vertes parmi $ 5 $. Donc au total: $ \displaystyle \binom{ 8 }{ 2 } \times \displaystyle \binom{ 7 }{ 1 } \times \displaystyle\binom{ 5 }{ 2 } $ tirages qui réalisent $A$.

Comme on est dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité cherchée est donc:
 

$$ \mathbb{ P } (A)=\frac{ \displaystyle \binom{8}{2} \times \binom{7}{1} \times \binom{5}{2} }{ \binom{20}{5} }= \frac{ 245 }{ 1938 } $$

b) Cinq tirages successifs sans remise de $5$ boules parmi $20$ correspondent à un arrangement de $5$ boules parmi $20$. Donc l'univers $\Omega$ est l'ensemble des arrangements de $5$ boules parmi $20$ et $\hbox{Card} (\Omega)=A_{20}^5$.

$\bullet$ On note $B$ l'évènement: "le tirage donne $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes". Pour que $B$ se réalise, on a $A_8^2$ choix de deux boules blanches parmi $8$, $A_7^1$ choix d'une boule noire parmi $7$ et $A_5^2$ choix de deux boules vertes parmi $5$; puis $\displaystyle\binom{5}{2}$ choix des $2$ tirages qui donnent une blanche, $\displaystyle\binom{5-2}{1}$ choix du tirage qui donne $1$ noire et $ \displaystyle \binom{ 5-2-1 }{ 2 } $ choix des $2$ tirages qui donnent une verte (on choisit d'abord les boules puis les tirages). Donc au total:

$$ A_8^2 \times A_7^1 \times A_5^2 \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} $$

tirages qui réalisent $B$.

Comme on est dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité cherchée est donc:
$$\mathbb{P}(B) = \frac{ A_8^2 \times A_7^1 \times A_5^2 \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} }{ A_{20}^5 } = \frac{245}{ 1938 } $$

Remarquons qu'on obtient le même résultat que dans le cas du tirage simultané des $5$ boules. Cette propriété aurait pu être "prédite" grâce aux propriétés de la loi hypergéométrique...

$\bullet$ On note $C$ l'évènement: "le tirage donne, dans cet ordre, $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes". Pour que $C$ se réalise, on a $A_8^2$ choix de deux boules blanches parmi $8$, $A_7^1$ choix d'une boule noire parmi $7$ et $A_5^2$ choix de deux boules vertes parmi $5$. Donc au total: $ A_8^2 \times A_7^1 \times A_5^2 $ tirages qui réalisent $C$.

Comme on est dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité cherchée est donc:
$$\mathbb{P}(C) = \frac{ A_8^2 \times A_7^1 \times A_5^2 }{ A_{20}^5 }= \frac{ 49 }{ 11628 }$$

Autre méthode: on utilise la formule des probabilités composées.

Pour $i\in[\![1,5]\!]$, on considère les évènements:
$B_i$: "obtenir une blanche au tirage numéro $i$";
$N_i$: "obtenir une noire au tirage numéro $i$";
$V_i$: "obtenir une verte au tirage numéro $i$".

On a $C=B_1\cap B_2\cap N_3\cap V_4\cap V_5$. On cherche donc à calculer $\mathbb{P}(B_1\cap B_2\cap N_3\cap V_4\cap V_5)$.
D'après la formule des probabilités composées, cette probabilité est égale à:

$$ \mathbb{ P } (B_1) \times \mathbb{ P }_{ B_1 } (B_2) \times \mathbb{ P }_{ B_1 \cap B_2 } (N_3) \times \mathbb{ P }_{ B_1 \cap B_2 \cap N_3 } (V_4) \times \mathbb{P}_{ B_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap V_4 } (V_5) $$

Comme à chaque tirage, on est dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité d'obtenir une couleur donnée est égale au nombre de boules de cette couleur, divisé par le nombre total de boules dans l'urne au moment du tirage. Donc:
$$\mathbb{ P }(B_1)=\frac{8}{20} \quad \mathbb{ P }_{B_1}(B_2)=\frac{7}{19} \quad \mathbb{ P }_{B_1\cap B_2}(N_3)=\frac{7}{18} \quad \mathbb{ P }_{B_1\cap B_2\cap N_3}(V_4)=\frac{5}{17}\quad \mathbb{ P }_{B_1\cap B_2\cap N_3\cap V_4}(V_5)=\frac{4}{16}$$

On obtient:

$$ \mathbb{ P }( B_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap V_4 \cap V_5 ) = \frac{ 49 }{ 11628 } $$


Pour déterminer par cette méthode $\mathbb{P} (B)$, on imagine un arbre qui représente les résultats des $5$ tirages. Sur cet arbre on s'intéresse aux branches qui réalisent $B$: elles ont toutes la même probabilité égale à $\displaystyle \mathbb{ P }( B_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap V_4 \cap V_5 ) = \frac{ 49 }{ 11628 } $.


La probabilité de $B$ est obtenue en additionnant la probabilité de chacunes de ces branches; comme elles sont au nombre de $\displaystyle \binom{5}{2} \times \binom{ 3 }{ 1 }\times \binom{2}{2} $ et ont toutes la même probabilité, on a:

$$ \mathbb{P} (B) = \binom{5}{2} \times \binom{ 3 }{ 1 }\times \binom{2}{2} \times \frac{ 49 }{ 11628 } = \frac{ 245 }{ 1938 } $$

c) Cinq tirages successifs avec remise de $5$ boules parmi $20$ correspondent à un cinq-uplet de l'ensemble des $20$ boules. Donc, en numérotant les boules, l'univers $\Omega$ est égal à $[\![1,20]\!]$ et $\hbox{Card} ( \Omega ) = 20^5 $.

$\bullet$ On note $D$ l'évènement: "le tirage donne $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes". Pour que $D$ se réalise, on a $\displaystyle\binom{5}{2}$ choix des tirages qui donnent une blanche, $\displaystyle\binom{5-2}{1}$ choix du tirage qui donne une noire et $\displaystyle\binom{5-2-1}{2}$ choix des tirages qui donnent une verte; puis $8$ choix de la première boule blanche et aussi $8$ choix de la seconde, $7$ choix de la boule noire, $5$ choix de la première boule verte et aussi $5$ choix de la seconde (on choisit d'abord les tirages puis les boules). Donc au total: $ \displaystyle \binom{ 5 }{ 2 } \times \binom{ 3} { 1 } \times \binom{ 2 }{ 2 } \times 8^2 \times 7 \times 5^2 $ tirages qui réalisent $D$.\s

Comme on est dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité cherchée est donc:
$$\mathbb{P} (D) = \frac{ \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} \times 8^2 \times 7 \times 5^2 }{ 20^5 } = \frac{21}{ 200 } $$

$\bullet$ On note $E$ l'évènement: "le tirage donne, dans cet ordre, $2$ blanches, $1$ noire et $2$ vertes". Pour que $E$ se réalise, on a $8$ choix de la première boule blanche et aussi $8$ choix de la seconde, $7$ choix de la boule noire, $5$ choix de la première boule verte et aussi $5$ choix de la seconde. Donc au total: $8^2 \times 7 \times 5^2 $ tirages qui réalisent $E$.

Comme on est dans le cas de l'équiprobabilité, la probabilité cherchée est donc:
$$\mathbb{P} (E) = \frac{ 8^2 \times 7 \times 5^2 }{ 20^5 } = \frac{ 7 }{ 2000 }$$

Autre méthode: on utilise l'indépendance (mutuelle) des résultats de chaque tirage.

En reprenant les notations du b), on a: $ E = B_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap V_4 \cap V_5$. Les évènements $B_1$, $B_2$, $N_3$, $V_4$ et $V_5$ étant (mutuellement) indépendants (comme conséquence de l'indépendance des résultats des tirages), on a:


$$ \mathbb{P} (E) = \mathbb{P} (B_1) \times \mathbb{P} (B_2) \times \mathbb{P} (N_3) \times \mathbb{P} (V_4) \times \mathbb{P} (V_5) = \left( \frac{ 8 }{ 20 } \right)^2 \times \frac{ 7 }{ 20 } \times \left( \frac{ 5 }{ 20 } \right)^2 = \frac{ 7 }{ 2000 } $$

Pour déterminer par cette méthode $\mathbb{P} (D)$, on imagine un arbre qui représente les résultats des $5$ tirages. Sur cet arbre on s'intéresse aux branches qui réalisent $E$: elles ont toutes la même probabilité égale à $\displaystyle \mathbb{ P }( B_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap V_4 \cap V_5 ) = \frac{ 7 }{ 2000 } $.


La probabilité de $D$ est obtenue en additionnant la probabilité de chacunes de ces branches; comme elles sont au nombre de $\displaystyle \binom{5}{2} \times \binom{ 3 }{ 1 }\times \binom{2}{2} $ et ont toutes la même probabilité, on a:

$$ \mathbb{P} (D) = \binom{5}{2} \times \binom{ 3 }{ 1 }\times \binom{2}{2} \times \frac{ 7 }{ 2000 } = \frac{ 21 }{ 200} $$