Fonction génératrice d'une variable discrète finie

Thèmes: Variables aléatoires - Loi - Espérance
 
Dans le cadre des variables discrètes finie, la notion de fonction génératrice est très simple puisqu'elle s'appuie sur la théorie des polynômes en une indéterminée à coefficients réels.
 
On se donne $X$ une variable discrète finie à valeurs dans $\mathbb{N}$. On appelle alors fonction génératrice de $X$ la fonction $G_X:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ définie par:
$$\forall t\in\mathbb{R},\quad G_X(t)=\mathbb{E}\big(t^X\big)$$
 
Cette fonction est bien défnie sur $\mathbb{R}$ puisqu'on prend l'espérance d'une varable discrète finie.
 
 
 
 
  • Calcul de $G_X$. D'après le théorème de transfert, la fonction $G_X$ a pour expression:
$$\forall t\in\mathbb{R},\quad G_X(t)=\sum_{k\in X(\Omega)} t^k\times\mathbb{P}(X=k)=\sum_{k\in\mathbb{N}} t^k\times\mathbb{P}(X=k)$$
puisque $\mathbb{P}(X=k)=0$ si $k\notin X(\Omega)$.
 
La fonction $G_X$ est donc polynômiale.
 
 
 
 
  • La fonction génératrice caractérise la loi. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes finies à valeurs dans $\mathbb{N}$, on a:
$$X\overset{(\mathcal{L})}{=}Y\Longleftrightarrow \forall t\in\mathbb{R},\;G_X(t)=G_Y(t)$$
 
La preuve est simple: l'implication $\Rightarrow$ est triviale, et $\Leftarrow$ s'obtient par unicité des coefficients d'une fonction polynôme.
 
D'autre part, on retrouve la loi $X$ à partir de la fonction $G_X$ grâce à la formule suivante:
 
$$\forall k\in\mathbb{N},\quad \mathbb{P}(X=k)=\frac{G_X^{(k)}(0)}{k!}$$
 
$X$ est alors (presque sûrement) à valeurs dans l'ensemble des $k\in\mathbb{N}$ tels que $\mathbb{P}(X=k)\neq 0$.
 
Preuve: par un calcul de dérivées successives, ou en invoquant la formule de Taylor pour les polynômes et l'unicité des coeffcients d'une fonction polynômiale.
 
 
 
 
 
 
  • Espérance et variance. L'espérance de $X$ est donnée par $\mathbb{E}(X)=G_X'(1)$, et sa variance par $V(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2$.
Preuve: Un simple calcul de dérivée donne $G_X'(1)=\displaystyle\sum_{k\in X(\Omega)}k\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{E}(X)$.
D'autre part $G_X''(1)=\displaystyle\sum_{k\in X(\Omega)}k(k-1)\times\mathbb{P}(X=k)$. Donc d'après le théorème de transfert et la linéarité de l'espérance, on obtient $G_CX'(1)=\mathbb{E}\big(X(X-1)\big)=\mathbb{E}\big(X^2)-\mathbb{E}(X)$. D'où $\mathbb{E}\big(X^2\big)=G_X''(1)+G_X'(1)$.
La formule de Koenig-Huyghnes permet alors de conclure: $V(X)=\mathbb{E}\big(X^2\big)-\big(\mathbb{E}X\big)^2=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2$.