Fonction génératrice et somme de variables indépendantes

 Thèmes: Vecteurs aléatoires - Loi - Espérance

 
 
 

La notion de fonction génératrice prend tout son intérêt lorsqu'on étudie une somme de variable aléatoire indépendante.

 
 
 
  • Somme de variables aléatoires indépendantes. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes finies à valeurs dans $\mathbb{N}$ et indépendantes, on a:
$$\forall t\in\mathbb{R},\quad G_{X+Y}(t)=G_X(t)\times G_Y(t)$$
 
Preuve: Pour $t\in\mathbb{R}$, on a l'égalité $t^{X+Y}=t^X\times t^Y$ en tout point de l'univers $\Omega$. On en déduit l'égalité des espérances $\mathbb{E}\big(t^{X+Y}\big)=\mathbb{E}\big(t^X\times t^Y\big)$.
D'autre part l'indépendance de $X$ et $Y$ donne l'indépendance de $t^X$ et de $t^Y$. On en déduit que $\mathbb{E}\big(t^X\times t^Y\big)=\mathbb{E}\big(t^X\big)\times \mathbb{E}\big(t^Y\big)$.
Finalement: $G_{X+Y}(t)=G_X(t)\times G_Y(t)$
 
Par récurrence, on en déduit le résultat suivant: si $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$ sont des variables aléatoires discrètes finies à valeurs dans $\mathbb{N}$ et mutuellement indépendantes, et si $S=\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i$:
$$\forall t\in\mathbb{R},\quad G_S(t)=\prod_{i=1}^n G_{X_i}(t)$$
 
 
 
 
 
 
  • Une application. Il n'est pas possible de truquer deux dés, de telle sorte que la somme des chiffres obtenus en les lançant

suive la loi uniforme sur $\lc2;12\rc$.

 
Solution. On suppose les deux dés distinguables et on note $X$ le chiffre obtenu avec le premier dé, $Y$ le chiifre obtenu avec le second dé.
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, donc la loi de $S=X+Y$ est entièrement déterminée par la loi de $X$ et de $Y$.
 
Par l'absurde, supposons que les deux dés sont truqués de telle sorte que $S\hookrightarrow\mathcal{U}\big(\lc2;12\rc\big)$.
 
On a donc:
$$\forall t\in\R,\quad G_S(t)=\sum_{k=2}^{11}\dfrac{1}{11}t^k$$
d'où:
$$G_S(1)=1\quad\hbox{et}\quad\hbox{pour }t\neq1,\;G_S(t)=\dfrac{t^2}{11}\dfrac{1-t^{11}}{1-t}$$
 
Puisque $X(\Omega)=Y(\Omega)=\lc1;6\rc$, il existe deux polynômes $P$ et $Q$ à coefficients réels et de degré égal à $5$ (car en truquant les dés, on ne peut pas donner la probabilité zéro à la face $5$) tels que:
$$\forall t\in\R,\quad G_X(t)=t\times P(t)\quad\hbox{et}\quad G_Y(t)=t\times Q(t) $$
et donc:
$$\forall t\in\R,\quad G_S(t)=G_X(t)\times G_Y(t) = t^2\times P(t)\times Q(t) $$
 
On en déduit que:
$$P(1)\times Q(1) = 1\quad\hbox{et}\quad\hbox{pour }t\neq1,\;P(t)\times Q(t)=\dfrac{1}{11(1-t)}\big(1-t^{11}\big) $$
 
Or on sait que l'équation $1-t^{11}=0$ admet une unique racine réelle: $1$. On en déduit que le polynôme $P\times Q$ n'a pas de racine réelle.
 
C'est absurde. En effet, $P$ et $Q$ étant de degré $5$, ils ont chacun au moins une racine réelle, et il en est donc de même pour $P\times Q$.