Méthodes et exercices BCPST seconde année

Cet ouvrage s'adresse aux élèves de classes préparatoires en 2e année BCPST. Il leur propose un entraînement complet et méthodique afin de bien maîtriser le programme de mathématiques et réussir leurs concours. Chaque chapitre est composé d'exercices avec corrigés et de methodes.

 

Corrections pour Méthodes et exercices BCPST seconde année

Dans cet article, je tacherai de corriger les dernières coquilles qui n'ont pas été corrigées avant l'impression.

Je compte d'ailleurs sur votre précieuse collaboration! Merci de me signaler toute erreur à l'adresse suivante: arnaud.begyn[at]prepas.org

  • Page 98. Pour l'exercice 4.3 voici une correction beaucoup plus rapide de la question i):

Dans tout ce qui suit $k$ est fixé.

On a pour $n\geq k$:     $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ donc $\frac{1}{n!}\binom{n}{k}=\frac{1}{k!(n-k)!}=c\times\frac{1}{(n-k)!} $ où $c=\frac{1}{k!}$ constante par rapport à $n$.

Sous réserve de convergence:

$$\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{1}{n!}\binom{n}{k}=\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{1}{k!(n-k)!}=\frac{1}{k!}\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{1}{(n-k)!}=\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{k!}{\rm e}$$

grâce au changement d'indice $n'=n-k$.

Puisqu'on obtient une quantité finie, on peut en déduire que la série $\displaystyle\sum_{n\geq k}\frac{1}{n!}\binom{n}{k}$ converge et que $\displaystyle\sum_{n= k}^{+\infty}\frac{1}{n!}\binom{n}{k}=\frac{{\rm e}}{k!}$.

 Pour ceux qui ne sont pas à l'aise avec la rédaction qui mélange à la fois le calcul et la preuve de la convergence, on peut commencer par montrer seulement la convergence: on sait que $\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}$ converge (série exponentielle en $1$), donc par changement d'indice $n=n'-k$, on peut dire qu'il en est de même pour $\displaystyle\sum_{n\geq k}\frac{1}{(n-k)!}$, puis par linéarité de la convergence que $\displaystyle\sum_{n\geq k}\frac{1}{k!(n-k)!}$ converge. Ainsi $\displaystyle\sum_{n\geq k}\frac{1}{n!}\binom{n}{k}$ converge.

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