import matplotlib as mpl # pour Latex dans les figures
import matplotlib.pyplot as plt # pour tracer des courbes
import numpy as np # pour manipuler facilement des tableaux
mpl.rc('text', usetex = True)
x = np.linspace (- 2*np.pi ,4*np.pi ,501)
plt.plot(x , np.sin(x) , color = 'green', label = 'sinus')
plt.plot (x , np.cos(x) , color = 'red' , label = 'cosinus')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( - 2*np.pi ,4*np.pi) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -1 ,1)
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
label = [ r'$-2\pi$', r'$-\pi$', r'$0$', r'$\pi$', r'$2\pi$', r'$3\pi$', r'$4\pi$', r'$5\pi$', r'$6\pi$' ]
plt.xticks( [ k*np.pi for k in range(-2,7) ], label ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.yticks( [-1, 1] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.legend()
plt.show()
$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
$\begin{array}{ll}
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) & \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\\
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) & \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a) \end{array}$
$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)= 2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$
$\sin'(x)=\cos(x)$ et $\cos'(x)=-\sin(x)$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\sin(x)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\cos(x)=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$
$\sin''=-\sin$ donc $\sin$ est concave sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ et: $\forall x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin(x)\leq x$.
Pour tout réel $x$: $|\sin(x)|\leq 1$ et $|\cos(x)|\leq 1$.
A savoir démontrer avec l'inégalité des accroissements finis: $\forall x\in\mathbb{R}$, $|\sin(x)|\leq |x|$
$\displaystyle\sin(x)\underset{x\to0}{\sim}x$ et $\cos(x)\underset{x\to0}{\sim}1$ et $\displaystyle1-\cos(x)\underset{x\to0}{\sim}\frac{x^2}{2}$
$\displaystyle\sin(x)\underset{x\to0}{=}x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$ et $\displaystyle\cos(x)\underset{x\to0}{=}1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$
mpl.rc('text', usetex = True)
for k in [-1,0,1,2,3] :
x = np.linspace (- np.pi/2 + 0.0001 + k*np.pi, np.pi/2 - 0.0001 + k*np.pi ,500)
plt.plot(x , np.tan(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -np.pi/2 + 0.0001 - np.pi, np.pi/2 -0.0001 + 3*np.pi ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -10 ,10)
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
label = [ r'$-\frac{3\pi}{2}$', r'$-\pi$', r'$-\frac{\pi}{2}$', r'$0$',
r'$\frac{\pi}{2}$', r'$\pi$', r'$\frac{3\pi}{2}$',
r'$2\pi$', r'$\frac{5\pi}{2}$', r'$3\pi$', r'$\frac{7\pi}{2}$' ]
plt.xticks( [ k*np.pi/2 for k in range(-3, 8) ], label ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.yticks( [ ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
$\begin{array}{ll}
\displaystyle\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)} &
\displaystyle\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}
\end{array}$
$\displaystyle\tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\tan(x)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1$
Rien d'intéressant.
Rien d'intéressant.
$\displaystyle\tan(x)\underset{x\to0}{\sim}x$
$\displaystyle\tan(x)\underset{x\to0}{=}x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)$
mpl.rc('text', usetex = True)
x = np.linspace (- 1, 1, 500)
plt.plot(x , np.arcsin(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -1, 1 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -np.pi/2, np.pi/2 )
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
label = [ r'$-\frac{\pi}{2}$', r'$0$', r'$\frac{\pi}{2}$' ]
plt.yticks( [ -np.pi/2, 0, np.pi/2 ], label ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.xticks( [ -1, 1] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\arcsin(x)=0$
Rien d'intéressant.
$\forall x\in[-1,1]$, $\displaystyle|\arcsin(x)| \leq \frac{\pi}{2}$.
$\displaystyle\arcsin(x)\underset{x\to0}{\sim}x$
Pas au programme.
mpl.rc('text', usetex = True)
x = np.linspace (- 1, 1, 500)
plt.plot(x , np.arccos(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -1, 1 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( 0, np.pi)
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
label = [ r'$\frac{\pi}{2}$', r'$\pi$' ]
plt.yticks( [ np.pi/2, np.pi ], label ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.xticks( [ -1, 0, 1] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$
Rien d'intéressant.
$\forall x\in[-1,1]$, $|\arccos(x)| =\arccos(x)\leq \pi$.
$\displaystyle\arccos(x)\underset{x\to0}{\sim}\frac{\pi}{2}$
Pas au programme.
mpl.rc('text', usetex = True)
x = np.linspace (- 20, 20, 500)
plt.plot(x , np.arctan(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -20, 20 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -2*np.pi/2, 2*np.pi/2 )
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
#label = [ r'$-\frac{\pi}{2}$', r'$0$', r'$\frac{\pi}{2}$' ]
plt.yticks( [ -np.pi/2, np.pi/2 ] )#, label ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.xticks( [ -20, 0, 20] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\left\{\begin{array}{cl}\displaystyle\frac{\pi}{2}&\hbox{ si }x>0\\\displaystyle-\frac{\pi}{2}&\hbox{ si }x<0\end{array}\right.$
$\displaystyle\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\arctan(x)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=\displaystyle-\frac{\pi}{2}$
$\arctan$ est concave sur $\mathbb{R}^+$ donc: $\forall x\in\mathbb{R}^+$, $\arctan(x)\leq x$.
$\forall x\in[-1,1]$, $\displaystyle|\arctan(x)| \leq \frac{\pi}{2}$.
$\displaystyle\arctan(x)\underset{x\to0}{\sim}x$
$\displaystyle\arctan(x)\underset{x\to0}{=}x-\frac{x^3}{3}+o(x^4)$
x = np.linspace (- 10, 10, 500)
plt.plot(x , np.sinh(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -10, 10 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -10, 10 )
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
plt.yticks( [ -10, -5, 5, 10 ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.xticks( [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\hbox{sh}'(x)=\hbox{ch}(x)$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\hbox{sh}(x)=0$
$\hbox{sh}''(x)=\hbox{sh}(x)\geq0$ pour tout $x\geq0$, donc $\hbox{sh}$ est convexe sur $\mathbb{R}^+$ et: $\forall x\geq0$, $\hbox{sh}(x)\geq x$.
Rien d'intéressant
$\displaystyle\hbox{sh}(x)\underset{x\to0}{\sim}x$
$\displaystyle\hbox{sh}(x)\underset{x\to0}{=}x+\frac{x^3}{6}+o(x^4)$
x = np.linspace (- 10, 10, 500)
plt.plot(x , np.cosh(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -10, 10 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( 1, 10 )
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
plt.yticks( [-1, 5, 10 ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.xticks( [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\hbox{ch}'(x)=\hbox{sh}(x)$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\hbox{ch}(x)=1$
Rien d'intéressant.
Rien d'intéressant
$\displaystyle\hbox{ch}(x)\underset{x\to0}{\sim}1$
$\displaystyle\hbox{ch}(x)\underset{x\to0}{=}1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$
x = np.linspace (-10, 10, 500)
plt.plot(x , np.exp(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( -10, 10 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -10, 50)
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
plt.xticks( [0] ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.yticks( [ ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle{\rm e}^{x+y}={\rm e}^{x}\times{\rm e}^{y}$ et $\displaystyle\frac{1}{{\rm e}^x}={\rm e}^{-x}$ et $\displaystyle\frac{{\rm e}^{y}}{{\rm e}^x}={\rm e}^{y-x}$
$\displaystyle\big({\rm e}^{x}\big)'={\rm e}^{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}{\rm e}^{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}{\rm e}^{x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^{x}-1}{x}=1$
$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ donc: $\forall x\in\mathbb{R}$, ${\rm e}^{x}\geq 1+x$.
Rien d'intéressant.
$\displaystyle{\rm e}^x\underset{x\to0}{\sim}1$ et $\displaystyle{\rm e}^x-1\underset{x\to0}{\sim}x$
$\displaystyle{\rm e}^x\underset{x\to0}{=}1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
x = np.linspace (0.00001, 5, 500)
plt.plot(x , np.log(x) , color = 'red')
axis = plt.gca() # on récupère les axes
plt.xlim ( 0, 5 ) # taille de la fenêtre
plt.ylim ( -10, 5)
axis.spines['top'].set_color( 'none') # on retire l'axe supérieur
axis.spines['right'].set_color( 'none') # et celui de droite
axis.spines[ 'bottom'].set_position('zero') # on déplace les deux autres axes
axis.spines[ 'left'].set_position('zero')
plt.xticks( [1] ) # on modifie les étiquettes des ordonnées
plt.yticks( [0 ] ) # on modifie les étiquettes des abscisses
plt.show()
$\displaystyle\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ et $\displaystyle\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln(x)$ et $\displaystyle\ln\left(\frac{y}{x}\right)=\ln(y)-\ln(x)$
$\displaystyle\ln'(x)=\frac{1}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$
$\ln$ est concave sur $\mathbb{R}^*_+$ donc: $\forall x>-1$, $\ln(1+x)\leq x$.
Rien d'intéressant.
$\displaystyle\ln(1+x)\underset{x\to0}{\sim}x$
$\displaystyle\ln(1+x)\underset{x\to0}{=}x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$