Correction de l'épreuve 0 Mines-Ponts

Dans cette section $X$ représente une variable aléatoire quelconque à valeurs dans $\mathbb{N}$. On définit sa fonction caractéristique ${\varphi }_X$ par $$\begin{array}{rl}{\varphi }_X:& \mathbb{R}⟶\mathbb{C}\\ & t⟼\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{itX}]\end{array}$$

1. Montrer que ${\varphi }_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et périodique.

Solution. Remarquons que ${\varphi }_X$ est définie sur $\mathbb{R}$, puisque ${\varphi }_X(t)$ est égale à l'espérance d'une variable aléatoire bornée. Puisque $X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$, la série ${{\displaystyle \sum }}_{n\ge 0}\mathbb{P}(X=n)$ converge. Pour tout $t\in \mathbb{R}$, la série ${{\displaystyle \sum }}_{n\ge 0}{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)$ est donc absolument convergente, et d'après le théorème de transfert: $$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},{\varphi }_X(t)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)$$ Il est clair qu'on est en présence d'une série de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ qui est normalement convergente sur $\mathbb{R}$, par théorème on sait donc que ${\varphi }_X$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'autre part, pour tout $t\in \mathbb{R}$: $${\varphi }_X(t+2\pi )=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i(t+2\pi )n}\mathbb{P}(X=n)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{itn}{\mathrm{e}}^{i2n\pi }\mathbb{P}(X=n)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)={\varphi }_X(t)$$ donc ${\varphi }_X$ est périodique.

2. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que ${\varphi }_X={\varphi }_Y$. Montrer que $X$ et $Y$ ont même loi.

Indication: on pourra considérer les intégrales $$I_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\varphi }_X(t){\mathrm{e}}^{-ikt}\mathrm{d}t$$ pour tout entier $k$.

Solution. On a, pour tout $t\in \mathbb{R}$, ${\varphi }_X(t)={\varphi }_Y(t)$, donc: $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{itn}[\mathbb{P}(X=n)-\mathbb{P}(Y=n)]=0$$

On fixe $k\in \mathbb{N}$. En multipliant l'égalité précédente par ${\mathrm{e}}^{-itk}$ a: $$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{it(n-k)}[\mathbb{P}(X=n)-\mathbb{P}(Y=n)]=0$$

Puisque la série de fonction converge uniformément sur $[-\pi ,\pi ]$ (car normalement sur $\mathbb{R}$), on peut intégrer terme à terme: $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}[\mathbb{P}(X=n)-\mathbb{P}(Y=n)]{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{it(n-k)}\mathrm{d}t=0$$

Or il est classique que, pour tout $p\in \mathbb{Z}$, ${{\displaystyle \int }}_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{itp}\mathrm{d}t$ est égale à $0$ si $p\ne 0$ et à $2\pi$ si $p=0$. On a donc: $$0+[\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)]2\pi =0$$

Ainsi: $$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(Y=k)$$

Puisque $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$, on peut en déduire qu'elles ont même loi.

3. Si $\mathbb{E}[X]<+\mathrm{\infty }$, montrer que ${\varphi }_X$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer ${\varphi }_X^{\prime }(0)$.

Solution. On a:

• pour tout $n\in \mathbb{N}$, la fonction $t⟼{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$,
• la série de fonctions ${{\displaystyle \sum }}_{n\ge 0}{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$,
• la série de fonctions ${{\displaystyle \sum }}_{n\ge 0}in{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.

Seul le troisième point est non trivial: l'hypothèse $\mathbb{E}[X]<+\mathrm{\infty }$ donne la convergence de la série ${{\displaystyle \sum }}_{n\ge 0}n\mathbb{P}(X=n)$, et donc la convergence normale de la série de fonction.

On sait donc que ${\varphi }_X$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que: $$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},{\varphi }_X^{\prime }(t)=i\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(X=n)$$

En particulier: ${\varphi }_X^{\prime }(0)=i{{\displaystyle \sum }}_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n\mathbb{P}(X=n)=i\mathbb{E}(X)$.

4. Calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire $Z=Y-1$ où $Y$ est de loi géométrique de paramètre $p$.

Solution. On a par linéarité de l'espérance, pour tout $t\in \mathbb{R}$: $${\varphi }_Z(t)=\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{itZ}]={\mathrm{e}}^{-it}\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{itY}]={\mathrm{e}}^{-it}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{itn}\mathbb{P}(Y=n)$$

Comme $Y\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$, on a pour tout $t\in \mathbb{R}$: $${\varphi }_Z(t)=0+{\mathrm{e}}^{-it}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{itn}p(1-p{)}^{n-1}=p\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}[{\mathrm{e}}^{it}(1-p){]}^n=\frac{p}{1-{\mathrm{e}}^{it}(1-p)}$$

5. Etablir que $X_n$ représente le nombre de clients dans le système au moment du départ du client $n$.

Solution. Montrons par récurrence que $X_n$ est égale au nombre de clients dans le système, pour tout $n\in \mathbb{N}$.

C'est vrai pour $n=0$: $X_0=0$ et initialement il n'y a personne dans le système.

Suposons que c'est vrai à un rang $n\in \mathbb{N}$. On raisonne par disjonction de cas.

Si $X_n=0$ c'est que personne n'est dans le système au moment du départ du client $n$. Dans ce cas $A_{n+1}$ client arrivent et donc au moment du départ du client $n+1$ il y a $A_{n+1}=X_{n+1}$ clients dans le système.

Si $X_n>0$, une fois le client $n$ parti il reste $X_n-1$ clients, ensuite il en arrive $A_{n+1}$. Donc au moment du départ du client $n+2$ il reste $X_n-1+A_{n+1}=X_{n+1}$ clients dans le système.

Dans les deux cas, $X_{n+1}$ représente donc le nombre de clients dans le système au moment du départ du client $n+1$.

La propriété est donc vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

6. Existe-t-il $M>0$ tel que $\mathbb{P}(X_n\le M)=1$ pour tout $n\ge 0$?

Solution. Par l'absurde montrons que si $n\ge 1$ il n'existe pas $M>0$ tel que $\mathbb{P}(X_n\le M)=1$. Supposons donc qu'il existe $M>0$ tel que $\mathbb{P}(X_n\le M)=1$.

On a $A_n\le X_n$ (inégalité de variables aléatoires), donc $X_n\le M⟹A_n\le M$ et donc $[X_n\le M]\subseteq [A_n\le M]$ (inclusion d'évènements). Par croissance de $\mathbb{P}$: $$1=\mathbb{P}(X_n\le M)\le \mathbb{P}(A_n\le M)\le 1$$ ie $\mathbb{P}(A_n\le M)=1$.

On a donc $0\le \mathbb{P}(A_n=\lfloor M\rfloor +2)\le \mathbb{P}(A_n>M)\le 0$, ie $\mathbb{P}(A_n=\lfloor M\rfloor +2)=0$. Ceci contredit la seconde hypothèse faite sur la loi de $A$.

Le fait que $M$ ne dépende pas de $n$ n'est donc pas indispensable: on vient de montrer que les variables ne sont pas p.s. bornées, en particulier elles ne sont pas non plus "uniformément" bornées. Un étudiant pourrait confondre l'énoncé avec la question: montrer que les variables sont p.s. finies, ce qui est une propriété beaucoup plus faible.

7. Montrer que pour tout $n\ge 1$, $X_{n+1}-X_n\ge -1$.

Solution. Soit $n\ge 1$. Puisque $A_{n+1}$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ on a $A_{n+1}\ge 0$. Or: $$X_{n+1}-X_n=\{\begin{array}{ll}{A}_{n+1}& \text{si }{X}_n=0\\ A_{n+1}-1& \text{si }{X}_n>0\end{array}$$

Donc $X_{n+1}-X_n\ge -1$.

C'est aussi vrai si $n=0$.

8. Pour tout $n\ge 0$, montrer que les variables aléatoires $X_n$ et $A_{n+1}$ sont indépendantes.

Solution. $X_n$ représente le nombre de clients présents dans le système au moment du départ du client $n$, et ne dépend donc que de $A_1$, $\dots$, $A_n$.

Comme $A_{n+1}$ est indépendante de ces $n$ variables, elle est aussi indépendante de $X_n$ (conséquence du lemme des coalitions).

Il faudrait que le jury précise s'il faut expliciter la fonction qui relie $X_n$ aux $A_1$, $\dots$, $A_n$. Son expression est difficile à donner.

Montrons par récurrence qu'il existe une fonction $f_n:{\mathbb{R}}^n⟼\mathbb{R}$ telle que $X_n=f_n(A_1,\dots ,A_n)$, pour tout $n\ge 1$.

Pour $n=1$: $X_1=A_1$ donc $f:t⟼f(t)=t$ convient. $$

Supposons que $f_n$ ait été construite à un rang $n\in \mathbb{N}$. On remarque que: $$X_{n+1}=A_{n+1}\mathbf{1}{}_{\{X_n=0\}}+(X_n-1+A_{n+1})\mathbf{1}{}_{\{X_n>0\}}$$ donc: $$X_{n+1}=A_{n+1}\mathbf{1}{}_{\{f_n(A_1,\dots ,A_n)=0\}}+(f_n(A_1,\dots ,A_n)-1+A_{n+1})\mathbf{1}{}_{\{f_n(A_1,\dots ,A_n)>0\}}$$ En prenant: $$f_{n+1}(t_1,\dots ,t_n,t_{n+1})=t_{n+1}\mathbf{1}{}_{\{f_n(t_1,\dots ,t_n)=0\}}+(f_n(t_1,\dots ,t_n)-1+t_{n+1})\mathbf{1}{}_{\{f_n(t_1,\dots ,t_n)>0\}}$$ on a bien: $$X_{n+1}=f_{n+1}(A_1,\dots ,A_n,A_{n+1})$$

D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n\ge 1$.

9. Etablir l'identité suivante pour $X$ une variable aléatoire à valeurs entières:

$$\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{itX}\mathbf{1}{}_{\{X>0\}}]={\varphi }_X(t)-\mathbb{P}(X=0)$$

Solution. Il suffit de remarquer que: $$1=\mathbf{1}{}_{\{X=0\}}+\mathbf{1}{}_{\{X>0\}}$$ donc: $${\mathrm{e}}^{itX}={\mathrm{e}}^{itX}\mathbf{1}{}_{\{X=0\}}+{\mathrm{e}}^{itX}\mathbf{1}{}_{\{X>0\}}=\mathbf{1}{}_{\{X=0\}}+{\mathrm{e}}^{itX}\mathbf{1}{}_{\{X>0\}}$$ puis par linéarité de l'espérance: $${\varphi }_X(t)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{itX}\mathbf{1}{}_{\{X>0\}}]$$

En effet, on rappelle que pour tout évènement $F$, $\mathbb{E}(\mathbf{1}{}_F)=\mathbb{P}(F)$.

10. Pour tout entier $n$, établir la relation suivante:

$${\varphi }_{X_{n+1}}(t)={\varphi }_A(t)[{\mathrm{e}}^{-it}{\varphi }_{X_n}(t)+(1-{\mathrm{e}}^{-it})\mathbb{P}(X_n=0)]$$

Solution. On procède de même: $${\mathrm{e}}^{it{X}_{n+1}}={\mathrm{e}}^{it{X}_{n+1}}\mathbf{1}{}_{\{X_n=0\}}+{\mathrm{e}}^{it{X}_{n+1}}\mathbf{1}{}_{\{X_n>0\}}={\mathrm{e}}^{it{A}_{n+1}}\mathbf{1}{}_{\{X_n=0\}}+{\mathrm{e}}^{it(X_n-1+A_{n+1})}\mathbf{1}{}_{\{X_n>0\}}$$ L'indépendance de $X_n$ et $A_{n+1}$ (question 8.) assure l'indépendance de ${\mathrm{e}}^{it{X}_n}$ et ${\mathrm{e}}^{it{A}_{n+1}}$, et de ${\mathrm{e}}^{it{X}_n}\mathbf{1}{}_{\{X_n>0\}}$ et ${\mathrm{e}}^{it{A}_{n+1}}$. On a donc: $${\varphi }_{X_{n+1}}(t)={\varphi }_A(t)\mathbb{P}(X_n=0)+{\mathrm{e}}^{-it}{\varphi }_A(t)\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{it{X}_n}\mathbf{1}{}_{\{X_n>0\}}]$$ puisque ${\varphi }_{A_{n+1}}={\varphi }_A$.

On utilise la formule démontrée à la question précédente: $${\varphi }_{X_{n+1}}(t)={\varphi }_A(t)\mathbb{P}(X_n=0)+{\mathrm{e}}^{-it}{\varphi }_A(t)[{\varphi }_{X_n}(t)-\mathbb{P}(X_n=0)]$$ ce qu'il fallait démontrer.

On suppose dorénavant que $0<\rho <1$.

On admet qu'alors la suite $(\mathbb{P}(X_n=0),n\ge 1)$ converge vers une limite, notée $\alpha$.

On suppose que $A$ n'est pas arithmétique, c'est-à-dire que $|{\varphi }_A(t)|<1$ pour $t\notin \{2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$.

On pose $$\begin{array}{rcl}\theta :[-\pi ,\pi ]& ⟶& \mathbb{C}\\ 0& ⟼& 1\\ t& ⟼& \alpha {\displaystyle \frac{{\varphi }_A(t)(1-{\mathrm{e}}^{-it})}{1-{\varphi }_A(t){\mathrm{e}}^{-it}}}\text{ pour }t\ne 0\end{array}$$

11. Etablir le développement limité à l'ordre $1$, de ${\varphi }_A$ au voisinage de $0$.

Solution. D'après la question 3. ${\varphi }_A$ est dérivable en $0$ et ${\varphi }_A^{\prime }(0)=i\mathbb{E}[A]$. Donc: $${\varphi }_A(t)\underset{t\to 0}{=}{\varphi }_A(0)+t{\varphi }_A^{\prime }(0)+o(t)\underset{t\to 0}{=}1+i\rho t+o(t)$$

12. Que doit valoir $\alpha$ (en fonction de $\rho$) pour que $\theta$ soit continue en $0$?

Solution. Puisque ${\varphi }_A$ continue en $0$ (question 3.), ${\varphi }_A(t)\underset{t\to 0}{\sim }{\varphi }_A(0)=1$. Donc: $$\theta (t)={\mathrm{e}}^{it}\alpha {\displaystyle \frac{{\varphi }_A(t)(1-{\mathrm{e}}^{-it})}{{\mathrm{e}}^{it}-{\varphi }_A(t)}}\underset{t\to 0}{\sim }1\times \alpha {\displaystyle \frac{1\times -(-it)}{{\mathrm{e}}^{it}-{\varphi }_A(t)}}$$ or: $${\mathrm{e}}^{it}-{\varphi }_A(t)\underset{t\to 0}{=}1+it-(1+i\rho t)+o(t)\underset{t\to 0}{\sim }i(1-\rho )t$$ donc: $$\underset{t\to 0}{lim}\theta (t)=\alpha \frac{1}{1-\rho }$$

Il faut donc que $\alpha =1-\rho$.

13. On fixe $\epsilon >0$. Pour tout $t\in [-\pi ,\pi ]\mathrm{\setminus }\{0\}$, identifier ${\beta }_t\in [0,1[$ tel que pour tout entier $n$ suffisamment grand, on ait l'identité suivante:

$$|{\varphi }_{X_{n+1}}(t)-\theta (t)|\le {\beta }_t|{\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t)|+\epsilon$$

Solution. On a:

$$\begin{array}{rcl}|{\varphi }_{X_{n+1}}(t)-\theta (t)|& =& |{\varphi }_A(t)({\varphi }_{X_n}(t){\mathrm{e}}^{-it}+(1-{\mathrm{e}}^{-it})\mathbb{P}(X_n=0))-\theta (t)|\text{ (question 10.) }\\ & =& |{\varphi }_A(t){\mathrm{e}}^{-it}({\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t))+{\varphi }_A(t)(1-{\mathrm{e}}^{-it})\mathbb{P}(X_n=0)-(1-{\varphi }_A(t){\mathrm{e}}^{-it})\theta (t)|\\ & =& |{\varphi }_A(t)|\times |{\mathrm{e}}^{-it}({\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t))+(1-{\mathrm{e}}^{-it})(\mathbb{P}(X_n=0)-\alpha )|\end{array}$$

donc d'après l'inégalité triangulaire: $$|{\varphi }_{X_{n+1}}(t)-\theta (t)|\le |{\varphi }_A(t)|\times |{\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t)|+2|\mathbb{P}(X_n=0)-\alpha |$$

Or on a supposé que ${{\displaystyle lim}}_{n\to +\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(X_n=0)=\alpha$ donc pour $n$ suffisamment grand on a: ${\displaystyle }2|\mathbb{P}(X_n=0)-\alpha |\le \epsilon$. Ainsi si on pose ${\beta }_t=|{\varphi }_A(t)|$, on a pour $n$ suffisamment grand: $$|{\varphi }_{X_{n+1}}(t)-\theta (t)|\le {\beta }_t\times |{\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t)|+\epsilon$$

De plus, on a supposé que $A$ n'est pas arithmétique et que $t\in [-\pi ,\pi ]\mathrm{\setminus }\{0\}$, donc on sait que ${\beta }_t\in [0,1[$.

14. Montrer que la suite de fonctions $({\phi }_{X_n},n\ge 1)$ converge simplement vers $\theta$.

Solution. Soient $t\in [-\pi ,\pi ]\mathrm{\setminus }\{0\}$ et ${\epsilon }^{\prime }>0$ fixés. Montrons que, pour $n$ suffisamment grand: $$|{\phi }_{X_n}(t)-\theta (t)|\le {\epsilon }^{\prime }$$

En itérant plusieurs fois l'inégalité de la question 13. (pour un $\epsilon >0$ précisé ultérieurement) on obtient:

$$\begin{array}{rcl}|{\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t)|& \le & {\beta }_t\times |{\varphi }_{X_{n-1}}(t)-\theta (t)|+\epsilon \\ & \le & {\beta }_t^2\times |{\varphi }_{X_{n-2}}(t)-\theta (t)|+(1+{\beta }_t)\epsilon \\ & \le & {\beta }_t^3\times |{\varphi }_{X_{n-3}}(t)-\theta (t)|+(1+{\beta }_t+{\beta }_t^2)\epsilon \\ & & \dots \end{array}$$

En notant $n_0(\epsilon )$ l'entier à partir duquel l'inégalité de 13. est vérifiée, on a donc pour tout $n\ge n_0(\epsilon )+1$: $$|{\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t)|\le {\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )}\times |{\varphi }_{X_{n_0(\epsilon )}}(t)-\theta (t)|+(1+{\beta }_t+{\beta }_t^2+\cdots +{\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )-1})\epsilon$$ Or ${\beta }_t\in [0,1[$ donc: $$0\le 1+{\beta }_t+{\beta }_t^2+\cdots +{\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )-1}={\displaystyle \frac{1-{\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )}}{1-{\beta }_t}}\le {\displaystyle \frac{1}{1-{\beta }_t}}$$

A ce stade, on voit qu'il est pertinent d'avoir choisi $\epsilon =(1-{\beta }_t){\displaystyle \frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}}>0$. En effet, on a alors pour tout $n\ge n_0(\epsilon )+1$: $$|{\varphi }_{X_n}(t)-\theta (t)|\le {\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )}\times |{\varphi }_{X_{n_0(\epsilon )}}(t)-\theta (t)|+{\displaystyle \frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}}$$

De plus, ${\beta }_t\in [0,1[$ assure que: $${{\displaystyle lim}}_{n\to +\mathrm{\infty }}{\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )}\times |{\varphi }_{X_{n_0(\epsilon )}}(t)-\theta (t)|=0\times |{\varphi }_{X_{n_0(\epsilon )}}(t)-\theta (t)|=0$$ donc pour $n$ suffisamment grand: $${\beta }_t^{n-n_0(\epsilon )}\times |{\varphi }_{X_{n_0(\epsilon )}}(t)-\theta (t)|\le {\displaystyle \frac{{\epsilon }^{\prime }}{2}}$$

On a donc montré que pour $n$ suffisamment grand: $$|{\phi }_{X_n}(t)-\theta (t)|\le {\epsilon }^{\prime }$$

Ainsi: $$\mathrm{\forall }t\in [-\pi ,\pi ]\mathrm{\setminus }\{0\},{{\displaystyle lim}}_{n\to +\mathrm{\infty }}{\varphi }_{X_n}(t)=\theta (t)$$

Il est clair que cette limite est aussi valable en $t=0$. La périodicité de ${\varphi }_{X_n}$ et de $\theta$ (conséquence de la question 1.) donne que cette limite est valable pour tout $t\in \mathbb{R}$.

La suite de fonctions $({\phi }_{X_n},n\ge 1)$ converge donc simplement vers $\theta$ sur $\mathbb{R}$.

On admet que $\theta$ est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire à valeurs entières $Y$: $\theta (t)=\mathbb{E}[{\mathrm{e}}^{itY}]$ pour tout $t\in [-\pi ,\pi ]$.

On suppose que

$${\varphi }_A(t)={\displaystyle \frac{1}{1+\rho -\rho {\mathrm{e}}^{it}}}$$

15. Identifier la loi de $A$.

Solution. Pour tout $t\in \mathbb{R}$: $${\varphi }_A(t)={\displaystyle \frac{1}{1+\rho }}\times {\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{\rho }{1+\rho }}{\mathrm{e}}^{it}}}$$

D'après les questions 2. et 4., si $B$ est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre ${\displaystyle \frac{1}{1+\rho }}$, $A$ a même loi que $B-1$.

16. Montrer que ${\varphi }_A$ vérifie les hypothèses requises.

Solution. On vérifie les hypothèses requises sur $A$:

$A(\mathrm{\Omega })\subseteq \mathbb{N}$ est évident.

Si $n\in \mathbb{N}$: $$\mathbb{P}(A\ge n)={{\displaystyle \sum }}_{k=n}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+\rho }}{(1-{\displaystyle \frac{1}{1+\rho }})}^k={\left({\displaystyle \frac{\rho }{1+\rho }}\right)}^n>0$$

$\mathbb{E}[A]=\mathbb{E}[B]-1={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{1+\rho }}}}-1=\rho$

Ensuite, on vérifie les hypothèses requises sur ${\varphi }_A$.

Soit $t\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$. On a: $$|1+\rho -\rho {\mathrm{e}}^{it}{|}^2=(1+\rho -\rho \cos (t){)}^2+{\rho }^2{\sin }^2(t)=2\rho (1+\rho )(1-\cos (t))+1>1$$ d'après les hypothèses faites sur $t$.

On a donc $|{\varphi }_A(t)|<1$. Par périodicité, c'est vrai pour tout $t\notin \{2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$.

17. Calculer $\theta$ et identifier la loi de $Y$.

Solution. Puisque $\theta$ est une fonction caractéristique, elle est continue en $0$ (simple conséquence du théorème de transfert et de la convergence uniforme de la série de fonctions en jeu). Donc d'après la question 12. on a $\alpha =1-\rho$.

Donc, pour tout $t\in \mathbb{R}$: $$\theta (t)=(1-\rho ){\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-it}}{1+\rho -\rho {\mathrm{e}}^{it}-{\mathrm{e}}^{-it}}}$$ En posant par exemple $z={\mathrm{e}}^{it}$ on arrive à la factorisation: $$\theta (t)=(1-\rho ){\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-it}}{(1-{\mathrm{e}}^{-it})\times (1-\rho {\mathrm{e}}^{it})}}={\displaystyle \frac{1-\rho }{1-\rho {\mathrm{e}}^{it}}}$$

D'après les questions 2. et 4., si $Z$ est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $(1-\rho )$, $Y$ a même loi que $Z-1$.