Correction de l'épreuve 0 Mines-Ponts

File d'attente M/GI/1

On considère la file d'attente à une caisse de supermarché. Il y a un serveur et un nombre de places infini. Les clients sont servis selon la discipline "premier arrivé, premier servi". On appelle "système", l'ensemble des clients en attente et du client en service. On considère $(A_n,n\geq1)$ la suite de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ où $A_n$ représente le nombre de clients arrivés pendant le service du client $n$.

On définit la suite $(X_n,n\geq1)$ comme suit \[X_0=0\quad\hbox{et}\quad X_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} A_{n+1}&\hbox{si }X_n=0\\ X_n-1+A_{n+1}&\hbox{si }X_n>0\end{array}\right.\] On suppose que les variables aléatoires $(A_n,n\geq1)$ sont indépendantes et de même loi, de loi commune celle d'une variable aléatoire $A$.

Hypothèses. On suppose que:

$A$ est à valeurs entières,
$\p(A\geq n)>0$ pour tout entier $n$,
$A$ a une espérance finie, on note $\rho=\E[A]$.

A) Fonction caractéristique

Dans cette section $X$ représente une variable aléatoire quelconque à valeurs dans $\mathbb{N}$. On définit sa fonction caractéristique $\phi_X$ par $$ \begin{array}{rl} \phi_X: & \R \ra \C \\ & t \longmapsto \E \big[ {\rm e}^{ itX } \big] \end{array} $$

Montrer que $\phi_X$ est continue sur $\R$ et périodique.

Solution. Remarquons que $\phi_X$ est définie sur $\R$, puisque $\phi_X(t)$ est égale à l'espérance d'une variable aléatoire bornée. Puisque $X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$, la série $\dsum_{n\geq0}\p(X=n)$ converge. Pour tout $t\in\R$, la série $\dsum_{n\geq0}{\rm e}^{itn}\p(X=n)$ est donc absolument convergente, et d'après le théorème de transfert: \[\forall t\in\R,\quad\phi_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{itn}\p(X=n)\] Il est clair qu'on est en présence d'une série de fonctions continue sur $\R$ qui est normalement convergente sur $\R$, par théorème on sait donc que $\phi_X$ est continue sur $\R$. D'autre part, pour tout $t\in\R$: \[\phi_X(t+2\pi)=\sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{i(t+2\pi)n}\p(X=n)=\sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{itn}{\rm e}^{i2n\pi}\p(X=n)=\sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{itn}\p(X=n)=\phi_X(t)\] donc $\phi_X$ est périodique.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $\phi_X=\phi_Y$. Montrer que $X$ et $Y$ ont même loi.

Indication: on pourra considérer les intégrales \[I_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\phi_X(t){\rm e}^{-ikt}\,{\rm d}t\] pour tout entier $k$.

Solution. On a, pour tout $t\in\R$, $\phi_X(t)=\phi_Y(t)$, donc: \[\sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{itn}\big[\p(X=n)-\p(Y=n)\big]=0\]

On fixe $k\in\mathbb{N}$. En multipliant l'égalité précédente par ${\rm e}^{-itk}$ a: \[\forall t\in\R,\quad \sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{it(n-k)}\big[\p(X=n)-\p(Y=n)\big]=0\]

Puisque la série de fonction converge uniformément sur $[-\pi,\pi]$ (car normalement sur $\R$), on peut intégrer terme à terme: \[\sum_{n=0}^{+\infty}\big[\p(X=n)-\p(Y=n)\big]\int_{-\pi}^{\pi}{\rm e}^{it(n-k)}\,{\rm d}t=0\]

Or il est classique que, pour tout $p\in\Z$, $\dint_{-\pi}^{\pi}{\rm e}^{itp}\,{\rm d}t$ est égale à $0$ si $p\neq0$ et à $2\pi$ si $p=0$. On a donc: \[0+\big[\p(X=k)-\p(Y=k)\big]2\pi=0\]

Ainsi: \[\forall k\in\N,\quad\p(X=k)=\p(Y=k)\]

Puisque $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$, on peut en déduire qu'elles ont même loi.

Si $\E[X]<+\infty$, montrer que $\phi_X$ est dérivable sur $\R$ et calculer $\phi_X'(0)$.

Solution. On a:

pour tout $n\in\mathbb{N}$, la fonction $t\longmapsto {\rm e}^{itn}\p(X=n)$ est dérivable sur $\R$,

la série de fonctions $\dsum_{n\geq 0}{\rm e}^{itn}\p(X=n)$ converge simplement sur $\R$,

la série de fonctions $\dsum_{n\geq 0}in{\rm e}^{itn}\p(X=n)$ converge uniformément sur $\R$.

Seul le troisième point est non trivial: l'hypothèse $\E[X]<+\infty$ donne la convergence de la série $\dsum_{n\geq 0}n\p(X=n)$, et donc la convergence normale de la série de fonction.

On sait donc que $\phi_X$ est dérivable sur $\R$ et que: \[\forall t\in\R,\quad \phi_X'(t)=i\sum_{n= 0}^{+\infty}n{\rm e}^{itn}\p(X=n)\]

En particulier: $\phi_X'(0)=i\dsum_{n= 0}^{+\infty}n\p(X=n)=i\E(X)$.

Calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire $Z=Y-1$ où $Y$ est de loi géométrique de paramètre $p$.

Solution. On a par linéarité de l'espérance, pour tout $t\in\R$: \[\phi_Z(t)=\E\big[{\rm e}^{itZ}\big]={\rm e}^{-it}\E\big[{\rm e}^{itY}\big]={\rm e}^{-it}\sum_{n=0}^{+\infty}{\rm e}^{itn}\p(Y=n)\]

Comme $Y\hookrightarrow\ca{G}(p)$, on a pour tout $t\in\R$: \[\phi_Z(t)=0+{\rm e}^{-it}\sum_{n=1}^{+\infty}{\rm e}^{itn}p(1-p)^{n-1}=p\sum_{n=0}^{+\infty}\big[{\rm e}^{it}(1-p)\big]^{n}=\frac{p}{1-{\rm e}^{it}(1-p) }\]

B) Remarques préliminaires

Etablir que $X_n$ représente le nombre de clients dans le système au moment du départ du client $n$.

Solution. Montrons par récurrence que $X_n$ est égale au nombre de clients dans le système, pour tout $n\in\mathbb{N}$.

C'est vrai pour $n=0$: $X_0=0$ et initialement il n'y a personne dans le système.

Suposons que c'est vrai à un rang $n\in\mathbb{N}$. On raisonne par disjonction de cas.

Si $X_n=0$ c'est que personne n'est dans le système au moment du départ du client $n$. Dans ce cas $A_{n+1}$ client arrivent et donc au moment du départ du client $n+1$ il y a $A_{n+1}=X_{n+1}$ clients dans le système.

Si $X_n>0$, une fois le client $n$ parti il reste $X_n-1$ clients, ensuite il en arrive $A_{n+1}$. Donc au moment du départ du client $n+2$ il reste $X_n-1+A_{n+1}=X_{n+1}$ clients dans le système.

Dans les deux cas, $X_{n+1}$ représente donc le nombre de clients dans le système au moment du départ du client $n+1$.

La propriété est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Existe-t-il $M>0$ tel que $\p(X_n\leq M)=1$ pour tout $n\geq0$?

Solution. Par l'absurde montrons que si $n\geq 1$ il n'existe pas $M>0$ tel que $\p(X_n\leq M)=1$. Supposons donc qu'il existe $M>0$ tel que $\p(X_n\leq M)=1$.

On a $A_n\leq X_n$ (inégalité de variables aléatoires), donc $X_n\leq M\Longrightarrow A_n\leq M$ et donc $[X_n\leq M]\subseteq [A_n\leq M]$ (inclusion d'évènements). Par croissance de $\p$: \[1=\p(X_n\leq M)\leq\p(A_n\leq M)\leq 1\] ie $\p(A_n\leq M)=1$.

On a donc $0\leq \p(A_n=\lfloor M\rfloor +2)\leq \p(A_n>M)\leq 0$, ie $\p(A_n=\lfloor M\rfloor +2)=0$. Ceci contredit la seconde hypothèse faite sur la loi de $A$.

Le fait que $M$ ne dépende pas de $n$ n'est donc pas indispensable: on vient de montrer que les variables ne sont pas p.s. bornées, en particulier elles ne sont pas non plus "uniformément" bornées. Un étudiant pourrait confondre l'énoncé avec la question: montrer que les variables sont p.s. finies, ce qui est une propriété beaucoup plus faible.

Montrer que pour tout $n\geq1$, $X_{n+1}-X_n\geq -1$.

Solution. Soit $n\geq1$. Puisque $A_{n+1}$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ on a $A_{n+1}\geq0$. Or: \[X_{n+1}-X_n=\left\{\begin{array}{ll} A_{n+1}&\hbox{si }X_n=0 \\ A_{n+1}-1&\hbox{si }X_n>0\end{array}\right.\]

Donc $X_{n+1}-X_n\geq -1$.

C'est aussi vrai si $n=0$.

Pour tout $n\geq0$, montrer que les variables aléatoires $X_n$ et $A_{n+1}$ sont indépendantes.

Solution. $X_n$ représente le nombre de clients présents dans le système au moment du départ du client $n$, et ne dépend donc que de $A_1$, $\dots$, $A_n$.

Comme $A_{n+1}$ est indépendante de ces $n$ variables, elle est aussi indépendante de $X_n$ (conséquence du lemme des coalitions).

Il faudrait que le jury précise s'il faut expliciter la fonction qui relie $X_n$ aux $A_1$, $\dots$, $A_n$. Son expression est difficile à donner.

Montrons par récurrence qu'il existe une fonction $f_n:\R^n\longmapsto\R$ telle que $X_n=f_n(A_1,\dots,A_n)$, pour tout $n\geq1$.

Pour $n=1$: $X_1=A_1$ donc $f:t\longmapsto f(t)=t$ convient. $ \newcommand{ \one }{ \mathbf{ 1 } \! } $

Supposons que $f_n$ ait été construite à un rang $n\in\mathbb{N}$. On remarque que: \[X_{n+1}=A_{n+1}\one_{\{X_n=0\}} + (X_n-1+A_{n+1})\one_{\{X_n>0\}}\] donc: \[X_{n+1}=A_{n+1}\one_{\{f_n(A_1,\dots,A_n)=0\}} + (f_n(A_1,\dots,A_n)-1+A_{n+1})\one_{\{f_n(A_1,\dots,A_n)>0\}}\] En prenant: \[f_{n+1}(t_1,\dots,t_n,t_{n+1})=t_{n+1}\one_{\{f_n(t_1,\dots,t_n)=0\}} + (f_n(t_1,\dots,t_n)-1+t_{n+1})\one_{\{f_n(t_1,\dots,t_n)>0\}}\] on a bien: \[X_{n+1}=f_{n+1}(A_1,\dots,A_n,A_{n+1})\]

D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n\geq1$.

C) Convergence

Etablir l'identité suivante pour $X$ une variable aléatoire à valeurs entières:

\[\E\big[{\rm e}^{itX}\one_{\{X>0\}}\big]=\phi_X(t)-\p(X=0)\]

Solution. Il suffit de remarquer que: \[1=\one_{\{X=0\}}+\one_{\{X>0\}}\] donc: \[{\rm e}^{itX}={\rm e}^{itX}\one_{\{X=0\}}+{\rm e}^{itX}\one_{\{X>0\}}=\one_{\{X=0\}}+{\rm e}^{itX}\one_{\{X>0\}}\] puis par linéarité de l'espérance: \[\phi_X(t)=\p(X=0)+\E\big[{\rm e}^{itX}\one_{\{X>0\}}\big]\]

En effet, on rappelle que pour tout évènement $F$, $\E(\one_{\,F})=\p(F)$.

Pour tout entier $n$, établir la relation suivante:

\[\phi_{X_{n+1}}(t)=\phi_A(t)\big[{\rm e}^{-it}\phi_{X_n}(t)+\big(1-{\rm e}^{-it}\big)\p(X_n=0)\big]\]

Solution. On procède de même: \[{\rm e}^{itX_{n+1}}={\rm e}^{itX_{n+1}}\one_{\{X_n=0\}}+{\rm e}^{itX_{n+1}}\one_{\{X_n>0\}}={\rm e}^{itA_{n+1}}\one_{\{X_n=0\}}+{\rm e}^{it(X_{n}-1+A_{n+1})}\one_{\{X_n>0\}}\] L'indépendance de $X_{n}$ et $A_{n+1}$ (question 8.) assure l'indépendance de ${\rm e}^{itX_n}$ et ${\rm e}^{itA_{n+1}}$, et de ${\rm e}^{itX_n}\one_{\{X_n>0\}}$ et ${\rm e}^{itA_{n+1}}$. On a donc: \[\phi_{X_{n+1}}(t)=\phi_A(t)\p(X_n=0)+{\rm e}^{-it}\phi_A(t)\E\Big[{\rm e}^{itX_{n}}\one_{\{X_n>0\}}\Big]\] puisque $\phi_{A_{n+1}}=\phi_A$.

On utilise la formule démontrée à la question précédente: \[\phi_{X_{n+1}}(t)=\phi_A(t)\p(X_n=0)+{\rm e}^{-it}\phi_A(t)\big[\phi_{X_n}(t)-\p(X_n=0)\big]\] ce qu'il fallait démontrer.

On suppose dorénavant que $0<\rho<1$.

On admet qu'alors la suite $\big(\p(X_n=0),n\geq1\big)$ converge vers une limite, notée $\al$.

On suppose que $A$ n'est pas arithmétique, c'est-à-dire que $|\phi_A(t)|<1$ pour $t\notin\{2k\pi,k\in\Z\}$.

On pose \[ \begin{array}{rcl} \theta : [ - \pi , \pi ] & \ra & \C \\ 0 & \longmapsto & 1 \\ t & \longmapsto & \al \dfrac{ \phi_A ( t ) \big( 1 - {\rm e}^{ - i t } \big) }{ 1 - \phi_A( t ) {\rm e}^{ - i t } } \; \hbox{ pour } \; t \neq 0 \end{array} \]

Etablir le développement limité à l'ordre $1$, de $\phi_A$ au voisinage de $0$.

Solution. D'après la question 3. $\phi_A$ est dérivable en $0$ et $\phi_A'(0)=i\E[A]$. Donc: \[\phi_A(t)\underset{t\to0}{=}\phi_A(0)+t\phi_A'(0)+o(t)\underset{t\to0}{=} 1+i\rho t+o(t) \]

Que doit valoir $\al$ (en fonction de $\rho$) pour que $\theta$ soit continue en $0$?

Solution. Puisque $\phi_A$ continue en $0$ (question 3.), $\phi_A(t)\underset{t\to0}{\sim}\phi_A(0)=1$. Donc: \[\theta(t)={\rm e}^{it}\al\dfrac{\phi_A(t)\big(1-{\rm e}^{-it}\big)}{{\rm e}^{it}-\phi_A(t)}\underset{t\to0}{\sim}1\times \al\dfrac{1\times-(-it)}{{\rm e}^{it}-\phi_A(t)}\] or: \[{\rm e}^{it}-\phi_A(t)\underset{t\to0}{=}1+it-(1+i\rho t) +o(t) \underset{t\to0}{\sim}i(1-\rho)t\] donc: \[\lim_{t\to 0}\;\theta(t)=\al\frac{1}{1-\rho}\]

Il faut donc que $\al=1-\rho$.

On fixe $\varepsilon>0$. Pour tout $t\in[-\pi,\pi]\backslash\{0\}$, identifier $\beta_t\in[0,1[$ tel que pour tout entier $n$ suffisamment grand, on ait l'identité suivante:

\[\big|\phi_{X_{n+1}}(t)-\theta(t)\big|\leq\beta_t\big|\phi_{X_n}(t)-\theta(t)\big|+\varepsilon\]

Solution. On a:
\begin{eqnarray*} \big| \phi_{ X_{ n + 1 } } ( t ) - \theta ( t ) \big| & = & \bigg| \phi_A ( t ) \Big( \phi_{ X_{ n } } ( t ) {\rm e }^{ - i t } + \big( 1 - \ex^{ - i t } \big) \p ( X_n = 0 ) \Big) - \theta ( t ) \bigg| \quad \hbox{ (question 10.) } \\ & = & \bigg| \phi_A ( t ) {\rm e}^{ - i t } \Big( \phi_{ X_{ n } } ( t ) - \theta ( t ) \Big) + \phi_A ( t ) \big( 1 - \ex^{ - i t } \big) \p( X_n = 0 ) - \Big( 1 - \phi_A ( t ) \ex^{ - i t } \Big) \theta ( t ) \bigg| \\ & = & \big| \phi_A ( t ) \big| \times \bigg| {\rm e }^{ - i t } \big( \phi_{ X_{ n } } ( t ) -\theta ( t ) \big) + \big( 1 - \ex^{ - i t } \big) \big( \p( X_n = 0 ) - \al \big) \bigg| \end{eqnarray*}
donc d'après l'inégalité triangulaire: \[ \big| \phi_{ X_{ n + 1 } } ( t ) - \theta ( t ) \big| \leq \big| \phi_A ( t ) \big| \times \big| \phi_{ X_{ n } } ( t ) - \theta ( t ) \big| + 2 \big| \p ( X_n = 0 ) - \al \big| \]

Or on a supposé que $\dlim_{n\to+\infty}\p(X_n=0)=\al$ donc pour $n$ suffisamment grand on a: $\di 2\big|\p(X_n=0)-\al\big|\leq\varepsilon$. Ainsi si on pose $\beta_t=\big|\phi_A(t)\big|$, on a pour $n$ suffisamment grand: \[ \big| \phi_{ X_{ n + 1 } } ( t ) - \theta ( t ) \big| \leq \beta_t \times \big| \phi_{ X_{ n } } ( t ) - \theta ( t ) \big| + \varepsilon \]

De plus, on a supposé que $A$ n'est pas arithmétique et que $t\in[-\pi,\pi]\backslash\{0\}$, donc on sait que $\beta_t\in[0,1[$.

Montrer que la suite de fonctions $\big(\varphi_{X_n},n\geq1\big)$ converge simplement vers $\theta$.

Solution. Soient $t\in[-\pi,\pi]\backslash\{0\}$ et $\varepsilon'>0$ fixés. Montrons que, pour $n$ suffisamment grand: \[\big|\varphi_{X_n}(t)-\theta(t)\big|\leq\varepsilon'\]

En itérant plusieurs fois l'inégalité de la question 13. (pour un $\ep>0$ précisé ultérieurement) on obtient:
\begin{eqnarray*} \big| \phi_{ X_{ n } } ( t ) - \theta ( t ) \big| & \leq & \beta_t \times \big| \phi_{ X_{ n - 1 } } ( t ) - \theta ( t ) \big| + \varepsilon \\ & \leq & \beta_t^2 \times \big| \phi_{ X_{ n - 2 } } ( t ) - \theta ( t ) \big| + ( 1 + \beta_t ) \varepsilon \\ & \leq & \beta_t^3 \times \big| \phi_{ X_{ n - 3 } } ( t ) - \theta ( t ) \big| +( 1 + \beta_t + \beta_t^2 ) \varepsilon \\ & & \dots \end{eqnarray*}
En notant $n_0(\ep)$ l'entier à partir duquel l'inégalité de 13. est vérifiée, on a donc pour tout $n\geq n_0(\ep)+1$: \[ \big| \phi_{ X_{ n } } ( t ) - \theta ( t ) \big| \leq \beta_t^{ n - n_0 ( \ep ) } \times \big| \phi_{ X_{ n_0 ( \ep ) } } ( t ) - \theta ( t ) \big| + \big( 1 + \beta_t + \beta_t^2 + \dots + \beta_t^{ n - n_0 ( \ep ) - 1 } \big) \varepsilon \] Or $\beta_t\in[0,1[$ donc: \[0\leq 1+\beta_t+\beta_t^2+\dots+\beta_t^{n-n_0(\ep)-1}=\dfrac{1-\beta_t^{n-n_0(\ep)}}{1-\beta_t}\leq\dfrac{1}{1-\beta_t}\]

A ce stade, on voit qu'il est pertinent d'avoir choisi $\ep=(1-\beta_t)\dfrac{\ep'}{2}>0$. En effet, on a alors pour tout $n\geq n_0(\ep)+1$: \[ \big| \phi_{ X_{ n } } ( t ) - \theta ( t ) \big| \leq \beta_t^{ n - n_0 ( \ep ) } \times \big| \phi_{ X_{ n_0 ( \ep ) } } ( t ) - \theta ( t ) \big| + \dfrac{ \ep ' }{ 2 } \]

De plus, $\beta_t\in[0,1[$ assure que: \[\dlim_{n\to+\infty}\beta_t^{n-n_0(\ep)}\times\big|\phi_{X_{n_0(\ep)}}(t)-\theta(t)\big|=0\times\big|\phi_{X_{n_0(\ep)}}(t)-\theta(t)\big|=0\] donc pour $n$ suffisamment grand: \[\beta_t^{n-n_0(\ep)}\times\big|\phi_{X_{n_0(\ep)}}(t)-\theta(t)\big|\leq\dfrac{\ep'}{2}\]

On a donc montré que pour $n$ suffisamment grand: \[\big|\varphi_{X_n}(t)-\theta(t)\big|\leq\varepsilon'\]

Ainsi: \[\forall t\in[-\pi,\pi]\backslash\{0\},\quad\dlim_{n\to+\infty}\phi_{X_n}(t)=\theta(t)\]

Il est clair que cette limite est aussi valable en $t=0$. La périodicité de $\phi_{X_n}$ et de $\theta$ (conséquence de la question 1.) donne que cette limite est valable pour tout $t\in\R$.

La suite de fonctions $\big(\varphi_{X_n},n\geq1\big)$ converge donc simplement vers $\theta$ sur $\R$.

D) Application

On admet que $\theta$ est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire à valeurs entières $Y$: $\theta(t)=\E\big[\ex^{itY}\big]$ pour tout $t\in[-\pi,\pi]$.

On suppose que

\[\phi_A(t)=\dfrac{1}{1+\rho-\rho\ex^{it}}\]

Identifier la loi de $A$.

Solution. Pour tout $t\in\R$: \[\phi_A(t)=\dfrac{1}{1+\rho}\times\dfrac{1}{1-\dfrac{\rho}{1+\rho}\ex^{it}}\]

D'après les questions 2. et 4., si $B$ est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{1+\rho}$, $A$ a même loi que $B-1$.

Montrer que $\phi_A$ vérifie les hypothèses requises.

Solution. On vérifie les hypothèses requises sur $A$:

$A(\Omega)\subseteq\mathbb{N}$ est évident.

Si $n\in\mathbb{N}$: \[\p(A\geq n)=\dsum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{1}{1+\rho}\left(1-\dfrac{1}{1+\rho}\right)^k=\left(\dfrac{\rho}{1+\rho}\right)^n>0\]

$\E\big[A\big]=\E\big[B\big]-1=\dfrac{1}{\dfrac{1}{1+\rho}}-1=\rho$

Ensuite, on vérifie les hypothèses requises sur $\phi_A$.

Soit $t\in\R\backslash\{0\}$. On a: \[\big|1+\rho-\rho\ex^{it}\big|^2=\big(1+\rho-\rho\cos(t)\big)^2+\rho^2\sin^2(t)=2\rho(1+\rho)\big(1-\cos(t)\big)+1>1\] d'après les hypothèses faites sur $t$.

On a donc $\big|\phi_A(t)\big|<1$. Par périodicité, c'est vrai pour tout $t\notin\{2k\pi,k\in\Z\}$.

Calculer $\theta$ et identifier la loi de $Y$.

Solution. Puisque $\theta$ est une fonction caractéristique, elle est continue en $0$ (simple conséquence du théorème de transfert et de la convergence uniforme de la série de fonctions en jeu). Donc d'après la question 12. on a $\al=1-\rho$.

Donc, pour tout $t\in\R$: \[\theta(t)=(1-\rho)\dfrac{1-\ex^{-it}}{1+\rho-\rho\ex^{it}-\ex^{-it}}\] En posant par exemple $z=\ex^{it}$ on arrive à la factorisation: \[\theta(t)=(1-\rho)\dfrac{1-\ex^{-it}}{\big(1-\ex^{-it}\big)\times\big(1-\rho\ex^{it}\big)}=\dfrac{1-\rho}{1-\rho\ex^{it}}\]

D'après les questions 2. et 4., si $Z$ est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $(1-\rho)$, $Y$ a même loi que $Z-1$.