Applications de la formule de Bayes

1. Les canards aux hormones.

Un éleveur de canard élève trois races différentes: le canard de Barbarie ($30\%$), le canard Nantais ($20\%$) et le canard Mulard  ($50\%$).
Suite à divers traitements hormonaux accélérateurs de croissance (utilisés sur plusieurs générations de volailles), certains animaux n'ont  qu'une seule patte : $10\%$ des canards de Barbarie, $2\%$ des canards Nantais et $25\%$ des canards Mulard.
On choisit un canard au hasard.

1. Quelle est la probabilité qu'il n'ait qu'une seule patte?
2. Sachant qu'il n'a qu'une seule patte, quelle est la probabilité que ce soit un canard Mulard? un canard Nantais?

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1. On note :
   • $B$ l'évènement: "l'animal est un canard de Barbarie";
   • $N$ l'évènement: "l'animal est un canard Nantais";
   • $M$ l'évènement: "l'animal est un canard Mulard";
   • $D$ l'évènement: "l'animal a une seule patte";
   $(B,N,M)$ est un système complet d'évènements. On a donc, d'après la formule des probabilitées totales : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(D)&=& \mathbb{P}(B \cap D)+ \mathbb{P}(N \cap D)+ \mathbb{P}(M \cap D)  \\ &=&\mathbb{P}(B) \times \mathbb{P}_{B}(D) + \mathbb{P}(N) \times \mathbb{P}_{N}(D) + \mathbb{P}(M) \times \mathbb{P}_{M}(D)\end{array}$$ donc : $$ \mathbb{P}(D)= \frac{3}{10} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} =\frac{159}{1000} $$
2. Sachant qu'il n'a qu'une seule patte, la probabilité que ce soit :
   • un canard Mulard est $\mathbb{P}_D(M)$;
   • un canard Nantais est $\mathbb{P}_D(N)$;
   D'après la formule de Bayes, appliquée avec le système complet d'évènements $(M,N,B)$, on a : $$  \mathbb{P}_{D}(M)  =  \frac{ \mathbb{P}_{M}(D) \mathbb{P}(M) }{ \mathbb{P}_{M}(D) \mathbb{P}(M) +  \mathbb{P}_{N} (D) \mathbb{P} (N) +  \mathbb{P}_{B} (D)   \mathbb{P}(B) }$$ donc : $$  \mathbb{P}_{D}(M)  =  \frac{\displaystyle \frac{ 1 }{4 } \times \frac{ 1 }{ 2 } }{\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 } \times \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 50 } \times \frac{ 1 }{ 5 } + \frac{ 1 }{ 10 } \times \frac{ 3 }{ 10} }   =  \frac{ 125 }{ 159 } $$ De même : $$ \mathbb{P}_{D} (N)  =  \frac{ \mathbb{P}_{N} (D) \mathbb{P}(N) }{  \mathbb{P}_{M} (D) \mathbb{P}(M) + \mathbb{P}_{N} (D)  \mathbb{P}(N) + \mathbb{P}_{B} (D) \mathbb{P}(B) }$$ donc : $$ \mathbb{P}_{D} (N) =  \frac{\displaystyle \frac{1}{ 50 } \times \frac{ 1 }{ 5 } }{\displaystyle \frac{1}{4} \times\frac{ 1 }{2 } +\frac{1}{50 } \times \frac{1 }{5 }+\frac{ 1 }{ 10 }\times \frac{ 3 }{ 10 } }    = \frac{4}{ 159} $$

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2. Test d'une maladie rare.

• si l'animal est sain, le test est négatif dans $99.8\%$ des cas
• si l'animal est malade, le test est positif dans $99.9\%$ des cas.

On sait d'autre part qu'il y a un animal malade sur $10 000$.
Peut-on avoir confiance en ce test ?  Pour cela, on déterminera:

1. la probabilité que l'animal soit malade, sachant que le test est positif;
2. la probabilité que l'animal soit sain, sachant que le test est négatif.

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1. La  probabilité que l'animal soit malade sachant que le test est positif est $\mathbb{P}_P(M)$.
   D'après la formule de Bayes, appliquée avec le système complet d'évènements $(M,\overline{M})$, on a : $$\mathbb{P}_P(M) = \frac{\displaystyle \mathbb{P}_M(P)\mathbb{P}(M)}{\mathbb{P}_M(P)\mathbb{P}(M) +\mathbb{P}_{\overline{M}}(P)\mathbb{P}(\overline{M})}$$ donc : $$ \mathbb{P}_P(M) = \frac{\displaystyle \frac{999}{ 1000}\times\frac{1}{10000}}{ \displaystyle\frac{999}{1000}\times\frac{1}{10000} + \frac{1}{500}\times\frac{9999}{10000} }=\frac{111}{2333}\approx 4,76\%$$
2. La probabilité que l'animal soit sain sachant que le test est négatif est $\mathbb{P}_{\overline{P}}(\overline{M})$.
   D'après la formule de Bayes, appliquée avec le système complet d'évènements $(M,\overline{M})$, on a : $$\mathbb{P}_{\overline{P}}(\overline{M}) = \frac{\mathbb{P}_{\overline{M}}(\overline{P})\mathbb{P}(\overline{M})}{\mathbb{P}_{\overline{M}}(\overline{P})\mathbb{P}(\overline{M})+\mathbb{P}_{M}(\overline{P})\mathbb{P}(M)}$$ donc : $$ \mathbb{P}_{ \overline{P} }( \overline{M} ) = \frac{ \displaystyle\frac{499}{500}\times\frac{9999}{10000} }{ \displaystyle\frac{499}{500}\times\frac{9999}{10000} +\frac{1}{1000}\times\frac{1}{10000} }= \frac{ 9979002 }{9979003}\approx 99,99\% $$ Si le test est positif, la probabilité que l'animal soit vraiment malade est très faible. Avec ce test, les animaux déclarés malades sont en majorité sains, on ne peut donc pas avoir confiance en ce test pour déterminer si un animal est malade.
   Par contre, si un animal est déclaré sain, on peut être sûr qu'il l'est avec une probabilité de $99,99\%$. On peut donc avoir confiance en ce test pour déterminer si un animal est sain.

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