Exemples non triviaux d'évènements indépendants

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1. Evènements deux à deux indépendants mais non indépendants.

On lance deux dés équilibrés, un de couleur noire et un autre de couleur blanche.
On considère les évènements :

• $A$ = "le chiffre du dé noir est pair"
• $B$ = "le chiffre du dé blanc est impair"
• $C$ = "les chiffres des deux dés ont même parité"

Vérifier que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants mais non indépendants.

On modélise l'expérience par l'univers $\Omega=\lc 1;6 \rc^2$ (la première composante des couples est le chiffre donnée par le dé noir, et la seconde composante est le chiffre donné par le dé blanc).
Puisqu'on veut démontrer l'indépendance de certains évènements, on ne va pas utiliser le fait que les résultats donnés par les deux dés sont indépendants.
On va le démontrer par dénombrement.
Tout d'abord, on sait que $\hbox{Card}(\Omega)=36$.
$A$ est formé des couples dont la première composante est paire.
On a donc $\hbox{Card}(A)=3\times 6=18$, d'où $\p(A)=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$.
On trouve de même $\p(B)=\dfrac{1}{2}$.
$C$ est formé des couples dont les deux composantes sont paires, et des couples dont les deux composantes sont impaires.
Le lemme des bergers donne donc que: $\hbox{Card}(C)=3\times 3+3\times 3=18$, d'où $\p(C)=\dfrac{1}{2}$.
$A\cap B$ est formé des couples dont la première composante est paire et la seconde impaire, donc $\hbox{Card}(A\cap B)=3\times 3=9$, d'où $\p(A\cap B)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$.
$A\cap C$ est l'évènement "les deux dés donnent un chiffre pair", donc $\hbox{Card}(A\cap C)=3\times 3=9$, d'où $\p(A\cap C)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$.
De même, on trouve $\p(B\cap C)=\dfrac{1}{4}$.
On a donc $\p(A\cap B)=\p(A)\times\p(B)$ et $\p(A\cap C)=\p(A)\times\p(C)$ et $\p(B\cap C)=\p(B)\times\p(C)$.
Les évènements $A$, $B$ et $C$ sont donc deux à deux indépendants.
Par contre $A\cap B\cap C=\emptyset$, ce qui donne $\p(A\cap B\cap C)=0\neq \p(A)\times\p(B)\times\p(C)$.
$A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas indépendants.

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2. Indépendance et indépendance conditionnelle.

On dispose de deux dés A et B.
Le dé A a 4 faces rouges et 2 faces blanches.
Le dé B a 2 faces rouges et 4 faces blanches.
On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'obtenir "pile" soit $\dfrac{1}{3}$:

• si on obtient "pile" on décide de jouer uniquement avec le dè A;
• si on obtient "face" on décide de jouer uniquement avec le dè B.

1. Calculer la probabilité d'obtenir rouge au premier coup, puis au deux premiers coups.
   Les évènements "obtenir rouge au premier coup" et "obtenir rouge au second coup" sont-ils indépendants?
2. On a obtenu rouge aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d'obtenir rouge au troisième coup.
3. On a obtenu rouge aux $n$ premiers coups ($n\in\mathbb{N}^*$). Déterminer la probabilité $p_n$ d'avoir utilisé le dé A.

1. On note $R_k$ l'évènement "obtenir rouge au $k$-ième coup", pour $k\in\mathbb{N}^*$.
   On note aussi $A$ = "la pièce a donné pile" et $B$ = "la pièce a donné face" = $\overline{A}$.
   La formule des probabilités totales donne : $$ \p(R_1)=\p(A)\times \p_A(R_1)+\p(B)\times \p_B(R_1) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{6}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{9} $$ De même : $$\p(R_1\cap R_2) = \p(A)\times \p_A(R_1\cap R_2)+\p(B)\times \p_B(R_1\cap R_2)$$ A cause de la première étape de l'expérience (le lancer de la pièce), on ne peut pas dire que $R_1$ et $R_2$ sont independants (pour $\p$).
   Pourtant lorsqu'on lance deux fois de suite un dé, les résultats obtenus à chaque lancer sont indépendants...
   On tient compte de ce fait, en remarquant que $R_1$ et $R_2$ sont indépendants pour $\p_A$ et $\p_B$ (c'est-à-dire sachant quel dé on a choisit).
   On a donc : $$\begin{array}{rcl} \p(R_1\cap R_2)&=&\p(A)\times \p_A(R_1)\times \p_A(R_2) + \p(B)\times \p_b(R_1)\times \p_B(R_2) \\ &=& \dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{4}{6}\right)^2+\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{2}{6}\right)^2 \\ &=& \dfrac{2}{9}\end{array}$$ De plus: $\p(R_2)=\p(R_1)=\dfrac{4}{9}$.
   On a donc $\p(R_1\cap R_2)\neq \p(R_1)\times\p(R_2)$, c'est-à-dire que $R_1$ et $R_2$ ne sont pas indépendants pour $\p$.
   Cet exemple illustre bien le fait que l'indépendance est une notion qui dépend du choix de la probabilité.
2. On veut calculer $\p_{R_1\cap R_2}(R_3)=\dfrac{ \p(R_1\cap R_2\cap R_3) }{ \p(R_1\cap R_2) }$.
   De même qu'au 1., on a : $$ \p(R_1\cap R_2\cap R_3)=\p(A)\times \p_A(R_1)\times \p_A(R_2)\times \p_A(R_3) + \p(B)\times \p_b(R_1)\times \p_B(R_2) \times \p_B(R_3)$$ et donc : $$ \p(R_1\cap R_2\cap R_3)= \dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{4}{6}\right)^3 +\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{2}{6}\right)^3 = \dfrac{10}{81}$$ Donc : $$ \p_{R_1\cap R_2}(R_3)=\dfrac{ \dfrac{10}{81} }{ \dfrac{2}{9} } = \dfrac{5}{9} $$
3. On veut calculer $p_n=\p\left(A\;\Bigg\vert\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^n R_k\right)$. D'après la formule de Bayes:
   $$p_n= \dfrac{ \p_A\left( \displaystyle\bigcap_{k=1}^n R_k \right) \times \p(A) }{ \p_A\left( \displaystyle\bigcap_{k=1}^n R_k \right) \times \p(A) + \p_B\left( \displaystyle\bigcap_{k=1}^n R_k \right) \times \p(B) }$$ Les évènements $R_1$, $\dots$, $R_n$ sont indépendants pour $\p_A$ et $\p_B$ donc : $$\begin{array}{rcl}p_n&=& \dfrac{ \left(\dprod_{k=1}^n \p_A(  R_k) \right) \times \p(A) }{ \left(\dprod_{k=1}^n \p_A(  R_k) \right) \times \p(A) + \left(\dprod_{k=1}^n \p_B( R_k) \right) \times \p(B) } \\ &=& \dfrac{ \left(\dfrac{4}{6}\right)^n \times\dfrac{1}{3} }{ \left(\dfrac{4}{6}\right)^n \times\dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{2}{6}\right)^n \times\dfrac{2}{3} } = \dfrac{ 4^n }{ 4^n +2^{n+1} } \\ &=& \dfrac{ 2^{n-1} }{ 1+ 2^{n-1} }\end{array}$$

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3. Exemple contre-intuitif d'évènements indépendants.

Dans l'expérience suivante, on dispose de trois dés à $6$ faces, deux d'entre eux étant normaux et le troisième étant pipé.
Un dé est normal si chaque face a la même probabilité d'apparition, alors qu'un dé est pipé si la face $6$ est trois fois plus probable que les autres.

1. On choisit au hasard un dé et on le lance. Quelle est la probabilité que la face $i$ apparaisse ( $i\in\lc 1;6\rc$ ) ? Sachant que le dé a donné $6$, quelle est la probabilité qu'il soit pipé?
2. On choisit maintenant (simultanément) deux dés parmi les trois disponibles et on les lance.
   On note $A$ l'évènement "le dé pipé fait partie des deux dés choisis".
   1. Calculer $\p(A)$. Quelle est la probabilité de $A$ sachant que la somme des résultats des dés vaut $12$?
   2. Même question avec une somme égale à $7$.
   3. Soit $B$ l'évènement "la somme des résultats des deux dés lancés vaut $7$".
      Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.

1. Le dé pipé donne $6$ avec probabilité $\dfrac{3}{8}$ et $i\in\lc1;5\rc$ avec probabilité $\dfrac{1}{8}$.
   En effet, si on note $p_i$ la probabilité d'avoir $i\in\lc1;6\rc$, on a les relations : $$ p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1\quad\hbox{et}\quad p_6=3p_5=3p_4=3p_3=3p_2=3p_1$$ On introduit les évènements $N$ = "on choisit le dé normal", $P$ = " on choisit le dé pipé" = $\overline{N}$ et, pour $i\in\lc 1;6\rc$, $F_i$ = "la face $i$ apparaît".
   La formule des probabilités totales donne : $$\p(F_6)= \p(N)\times \p_N(F_6) + \p(P)\times\p_P(F_6) = \frac{2}{3}\times\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\times\frac{3}{8} =\frac{17}{72} $$ De même pour $k\in\lc1;5\rc$ : $$\p(F_k)= \p(N)\times \p_N(F_k) + \p(P)\times\p_P(F_k) = \frac{2}{3}\times\frac{1}{6} +\frac{1}{3}\times\frac{1}{8}=\frac{11}{72} $$ D'autre part, la formule de Bayes donne : $$\p_{F_6}(P)= \frac{ \p_P(F_6) \times \p(P) }{ \p(F_6) } = \frac{ \frac{3}{8}\times\frac{1}{3} }{ \frac{11}{72} } = \frac{9}{11} $$
2. 1. $\overline{A}$ est l'évènement "on choisit les deux dés normaux".
      Par dénombrement on a: $\p(A)=\dfrac{ \displaystyle\binom{2}{2} }{ \displaystyle\binom{3}{2} }$.
      Notons maintenant $S$ l'évènement "la somme des deux chiffres obtenus est égale à $12$".
      $S$ correspond aussi à l'évènement "on a obtenu un double $6$".
      Pour calculer $\p_S(A)$, on calcule $\p_S\big(\overline{A}\big)$. La formule de Bayes donne: $$\p_S\big(\overline{A}\big)= \frac{ \p_{\overline{A} }(S)\times\p\big(\overline{A}\big) }{ \p(S) } = \frac{ \p_{\overline{A} }(S)\times\p\big(\overline{A}\big) }{ \p_{\overline{A} }(S)\times \p\big(\overline{A}\big) + \p_{A }(S)\times\p(A) }$$ Une fois les deux dés choisis, leur résultats sont indépendants.
      On en déduit que les résultats des deux dés sont indépendants pour les probabilités $\p_A$ et $\p_{\overline{A}}$ (mais à priori ils ne le sont pas pour $\p$).
      Ainsi $\p_{\overline{A}}(S)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2=\dfrac{1}{36}$ et $\p_A(S)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{16}$.
      Ainsi : $$\p_S\big(\overline{A}\big)=\dfrac{ \dfrac{1}{36}\times\dfrac{1}{3} }{ \dfrac{1}{36}\times\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{16}\times\dfrac{2}{3} } =\dfrac{ 2}{ 11 } $$ Finalement : $$\p_S(A)=1-\p_S\big(\overline{A}\big)=\dfrac{9}{11}$$
   2. Notons $T$ l'évènement "la somme des deux chiffres obtenus est égale à $7$".
      $T$ correspond aussi à l'évènement "on a obtenu les chiffres $1$ et $6$, ou $2$ et $5$, ou encore $3$ et $4$".
      Comme les deux chiffres qui réalisent $T$ sont distincts, il faut cette fois tenir compte du fait que les deux dés choisit sont distinguables.
      Par exemple: $$ \p_A (\hbox{" chiffres }1\hbox{ et }6\hbox{ "}) = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8}$$ On a donc $\p_{\overline{A}}(T)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{6}\right)^2=\dfrac{1}{6}$.
      Et de même $\p_A(T)= \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{8} +\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{6}$.
      La formule de Bayes donne ensuite : $$\p_T\big(\overline{A}\big)= \frac{ \p_{\overline{A} }(T)\times\p\big(\overline{A}\big) }{ \p(T) } = \frac{ \p_{\overline{A} }(T)\times\p\big(\overline{A}\big) }{ \p_{\overline{A} }(T)\times\p\big(\overline{A}\big) + \p_{A }(T)\times\p(A) } = \dfrac{ \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3} }{ \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\times\dfrac{2}{3} }$$ Donc : $$\p_T(A)=1-\p_T\big(\overline{A}\big)=\dfrac{1}{3}$$ Remarquez qu'au 2.(a), on aurait pu aussi distinguer les dés, et que les calculs donnent les mêmes probabilités (fort heureusement!).

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