Fonction génératrice d'une variable discrète finie

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Trucage de dés

Il n'est pas possible de truquer deux dés, de telle sorte que la somme des chiffres obtenus en les lançant suive la loi uniforme sur $\lc2,12\rc$.

On suppose les deux dés distinguables et on note $X$ le chiffre obtenu avec le premier dé, $Y$ le chiifre obtenu avec le second dé.
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, donc la loi de $S=X+Y$ est entièrement déterminée par la loi de $X$ et de $Y$.
Par l'absurde, supposons que les deux dés sont truqués de telle sorte que $S\sim\mathcal{U}\big(\lc2,12\rc\big)$.
On a donc: $$\forall t\in\R,\quad G_S(t)=\sum_{k=2}^{11}\dfrac{1}{11}t^k$$ d'où : $$G_S(1)=1\quad\hbox{et}\quad\hbox{pour }t\neq1,\;G_S(t)=\dfrac{t^2}{11}\dfrac{1-t^{11}}{1-t}$$ Puisque $X(\Omega)=Y(\Omega)=\lc1,6\rc$, il existe deux polynômes $P$ et $Q$ à coefficients réels et de degré égal à $5$ (car en truquant les dés, on ne peut pas donner la probabilité zéro à la face $5$) tels que : $$\forall t\in\R,\quad G_X(t)=t\times P(t)\quad\hbox{et}\quad G_Y(t)=t\times Q(t) $$ et donc : $$\forall t\in\R,\quad G_S(t)=G_X(t)\times G_Y(t) = t^2\times P(t)\times Q(t) $$ On en déduit que : $$P(1)\times Q(1) = 1\quad\hbox{et}\quad\hbox{pour }t\neq1,\;P(t)\times Q(t)=\dfrac{1}{11(1-t)}\big(1-t^{11}\big) $$ Or on sait que le polynôme $1-X^{11}$ admet une unique racine réelle qui est $1$ et que c'est une racine simple.
L'équation $\dfrac{1}{11(1-t)}\big(1-t^{11}\big)$ n'a donc pas de solution réelle.
On en déduit que le polynôme $P\times Q$ n'a pas de racine réelle.
C'est absurde.
En effet, $P$ et $Q$ étant de degré $5$, ils ont chacun au moins une racine réelle, et il en est donc de même pour le polynôme $P\times Q$.
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