Problèmes historiques

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1. Problème du prince de Toscane.

Le Prince de Toscane demande à Galilée pourquoi, en lançant trois dés, on obtient plus souvent un total de 10 qu'un total de 9, alors qu'il y a dans les deux cas exactement 6 façons d'obtenir ces résultats.

Pourtant, il y a six façons d'obtenir $9$ : $$\{6,2,1\}\quad \{5,3,1\}\quad \{5,2,2\}\quad \{4,4,1\}\quad \{4,3,2\}\quad \{3,3,3\}$$ et six façons d'obtenir $10$ : $$\{6,3,1\}\quad\{6,2,2\}\quad\{5,4,1\}\quad \{5,3,2\}\quad \{4,4,2\}\quad \{4,3,3\}$$ Pour modéliser la situation, numérotons les dés. Un lancer correspond donc à un triplet de chiffres entre 1 et 6 et l'univers $\Omega$ est: $\Omega=\lc1,6\rc$.
Au total, il y a donc $6^3$ lancers possibles.
Il y a $3!$ triplets donnant les chiffres $\{6,2,1\}$, et autant pour les chiffres $\{5,3,1\}$ et $\{4,3,2\}$.
Pour $\{5,2,2\}$, le chiffre 2 apparaît deux fois : il y a donc $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ triplets donnant les chiffres $\{5,2,2\}$,et autant pour les chiffres $\{4,4,1\}$.
Enfin il y a un unique triplet donnat les chiffres $\{3,3,3\}$.
Au total, on a a donc $6+6+6+3+3+1=25$ triplets donnant un total de $9$.
Comme tous les triplets sont équiprobables, la probabilité d'obtenir un total $9$ est $\displaystyle\frac{25}{6^3}$.
Un calcul similaire permet d'obtenir que la probabilité d'obtenir un total de $10$ est $\displaystyle\frac{6+6+6+3+3+3}{6^3}=\frac{27}{6^3}$.
Comme $27>25$, on a donc bien démontré qu'on obtient plus souvent un total de $10$ qu'un total de $9$.

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2. Problème du chevalier de Méré.

Le Chevalier de Méré soutient à Pascal que les deux jeux suivants sont favorables au joueur : obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois de suite un dé, et obtenir au moins un double 6 en lançant 24 fois de suite 2 dés.
Qu'en est-il vraiment?

Pour le vérifier, calculons la probabilité de l'évènement contraire de "obtenir au moins un six".
Il s'agit de l'évènement "n' obtenir aucun six".
Par indépendance des résultats obtenus à chacun des 4 lancers, la probabilité de "n' obtenir aucun six" est $\displaystyle\left(\frac{5}{6}\right)^4$, et donc la probabilité "d' obtenir au moins un six" est $\displaystyle 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4>\frac{1}{2}$.
Le premier jeu du Chevalier de Méré est donc favorable au joueur.
Adaptons la méthode précédente pour le deuxième jeu : calculons la probabilité de l'évènement contraire de "obtenir au moins un double six".
Il s'agit de l'évènement "n' obtenir aucun double six".
Par indépendance des résultats obtenus à chacun des $4$ lancers, la probabilité de "n' obtenir aucun double six" est $\displaystyle\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ donc la probabilité "d' obtenir au moins un six" est $\displaystyle 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}<\frac{1}{2}$.
Le second jeu du Chevalier de Méré est donc défavorable au joueur.

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