Sur la loi de Bernoulli

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On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p\in]0,1[$, lorsque : $$X(\Omega)=\{0;1\}\qquad\hbox{avec}\qquad \mathbb{P}(X=1)=p\quad\hbox{et}\quad\mathbb{P}(X=0)=1-p$$ On le note $X\sim\mathcal{B}(p)$.



1. Modélisation.

On considère une expérience aléatoire qui n' a que deux issues possibles: "succès" ou "echec".
On pose $X$ = $1$ si on obtient un succès et $0$ si on obtient un échec.
Alors $X\sim\mathcal{B}(p)$ où $p=\mathbb{P}("succès")$.




2. Espérance et variance.

Par définition $\mathbb{E}(X)=1\times p+0\times(1-p)=p=\mathbb{P}(X=1)$.
Par le théorème de transfert $\mathbb{E}\big(X^2\big)=1^2\times p+0^2\times(1-p)=p$, donc d'après la formule de Koenig-Huyghens: $V(X)=p-p^2=p(1-p)$.




3. Fonction génératrice.

D'après le théorème de transfert: $\forall t\in\mathbb{R}$, $G_X(t)=t^1\times p+t^0\times(1-p)=pt+1-p$.




4. Indépendance et covariance.

Si $X\sim\mathcal{B}(p_1)$ et $Y\sim\mathcal{B}(p_2)$ : $$X\hbox{ indépendante de }Y\Longleftrightarrow\hbox{Cov}(X,Y)=0$$

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Author: Arnaud Bégyn

Created: 2024-08-14 mer. 23:49

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