Sur la loi uniforme

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On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur une partie $A$ de $\mathbb{R}$ finie et non vide, lorsque : $$X(\Omega)=A\qquad\hbox{et}\qquad \forall a\in A,\;\mathbb{P}(X=a)=\frac{1}{|A|}$$ où $|A|$ désigne le cardinal de $A$.
On le note $X\sim\mathcal{U}(A)$.



1. Modélisation I.

On tire au hasard un élément de $A$ et on le note $X$, Alors $X\sim\mathcal{U}(A)$.

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2. Modélisation II.

On distingue un élément de $A$ des autres, qu'on note $a_0$.
On tire ensuite un par un et sans remise les éléments de $A$, jusqu'à avoir obtenu l'élément $a_0$.
On note $X$ le nombre de tirages effectués.
Alors $X\sim\mathcal{U}\big(\lc1,n\rc\big)$, où $n=|A|$.

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Par exemple, on tire une a une et sans remise les cartes d'un jeu de 32 cartes et on note $X$ le numéro obtenu.
Alors $X\sim\mathcal{U}\big(\lc1,32\rc\big)$.



3. Espérance et variance.

Lorsque $X\sim\mathcal{U}\big(\lc1,n\rc\big)$, on a $\mathbb{E}(X)=\displaystyle \frac{n+1}{2}$ et $V(X)= \displaystyle \frac{n^2-1}{12}$.

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4. Fonction génératrice.

$\forall t\in\mathbb{R}$, $G_X(t) = \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n t^k$.

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Author: Arnaud Bégyn

Created: 2024-08-14 mer. 23:49

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