Sur les permutations aléatoires

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On choisit comme univers l'ensemble des permutations de $\lc 1,n \rc$.
L'expérience aléatoire consiste donc à choisir au hasard une permutation.
On munit cet espace de la probabilité uniforme, c'est-à-dire que chaque permutation peut être choisie avec la même probabilité $\displaystyle \frac{1}{ n! }$.
Remarquons que cette expérience peut être décrite avec une urne: on dispose d'une urne de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$, et on tire toutes les boules successivement une par une et sans remise.
La succession de tirages donne une permutation des chiffres de $1$ à $n$, et chaque issue de l'espérience se produit avec probabilité $\dfrac{1}{n!}$.
On est donc ramené au choix équiprobable d'une permutation aléatoire.

1. Nombre de points fixes.

On tire au hasard une permutation aléatoire $\omega$, et on s'intéresse à ses points fixes (c'est-à-dire aux éléments $i \in \lc 1,n \rc$ vérifiant $\omega(i)=i$ ).
On note $X$ la variables aléatoire égale au nombre de ses points fixes.

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2. Records vers le haut.

Soit $\omega:\lc1,n\rc\ra\lc1,n\rc$ une permutation.
Pour $k\in\lc2,n\rc$, on dit que $\omega$ possède un record vers le haut au rang $k$ lorsque : $\forall i\in\lc1,k-1\rc$, $\omega(k)>\omega(i)$.
Par convention, on dira que toute permutation $\omega$ possède un record vers le haut au rang $1$.
Si on interprète l'expérience aléatoire comme $n$ tirages successifs sans remise dans une urne de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$, un record vers le haut au $k$-ième signifie que le numéro obtenu est strictement plus grand que les numéros obtenus aux tirages précédents.

  1. Quelle est la probabilité qu'une permutation donne un seul record vers le haut? qu'elle donne $n$ records vers le haut?
    1. Pour $(k,j)\in\lc2,n\rc^2$, quelle est la probabilité qu'une permutation donne un record vers le haut au rang $k$ avec $\omega(k)=j$?
      (C'est-à-dire que les $n$ tirages sans remise donne le numéro $j$ au $k$-ième tirage et que les tirages précédents ont donné un numéro strictement inférieur à $j$).
    2. Pour $k\in\lc2,n\rc$, déterminer la probabilité qu'une permutation donne un record vers le haut au rang $k$.
    3. Comment aurait-on pu procéder pour trouver ce résultat directement?
  2. On note $X_n$ le nombre de records obtenus.
    Pour tout $k\in\lc1,n\rc$, on note aussi $Y_k$ = $1$ si on a obtenu un record au rang $k$ et $0$ sinon.
    1. Pour $k\in\lc1,n\rc$, quelle est la loi de $Y_k$? Pour $k\neq j$, montrer que $Y_k$ et $Y_j$ sont indépendantes.
    2. En déduire $\mathbb{E}(X_n)$ et $V(X_n)$.
      Donner en un équivalent lorsque $n\to+\infty$.
    3. Déterminer la fonction génératrice de $X_n$. $ \newcommand{\stir}[2]{\displaystyle\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}} $
    4. On définit les nombres de Stirling non signés de première espéce, notés $\stir{n}{k}$, par la formule : $X(X+1)\dots(X+n-1)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \stir{n}{k} X^k$.
      Donner la loi de $X_n$ en fonction des $\stir{n}{k}$, pour $k\in\lc1,n\rc$.
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3. Nombre de cyles (= orbites) d'une permutation aléatoire.

On note $X_n$ le nombre de cycles d'une permutation aléatoire de $\lc1,n\rc$ dans sa décomposition canonique (en comptant les cycles de longueur $1$).

  1. Etablir la relation suivante : $$\forall k\in\lc1,n+1\rc,\quad (n+1)\p(X_{n+1}=k)=\p(X_n=k-1)+n\p(X_n=k)$$
  2. En déduire $\E(X_n)$.
    Donner en un équivalent lorsque $n\to+\infty$.
  3. Déterminer la fonction génératrice de $X_n$. Que peut-on en déduire sur sa loi?
  4. En déduire $V(X_n)$. Donner en un équivalent lorsque $n\to+\infty$.
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Author: Arnaud Bégyn

Created: 2024-08-14 mer. 23:49

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