Théorème de De Moivre-Laplace

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Théorème de De Moivre-Laplace.

Si $X_n\sim\mathcal{B}(n,p)$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in]0,1[$ alors on a : $$\forall [a,b]\subseteq\mathbb{R},\quad \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}\big(X_n\in[a,b]\big)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b{\rm e}^{-\frac{t^2}{2}}\,{\rm d}t$$ ce qui signifie que $\displaystyle \frac{X_n-np}{\sqrt{pqn}}\overset{(\mathcal{L})}{\longrightarrow}\mathcal{N}(0,1)$.
Remarque. C'est un cas particulier du théorème central limite en remplaçant $X_n$ par $\displaystyle\sum_{k=1}^n Y_k$ où $Y_1$, $\dots$, $Y_n$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$.




Preuve niveau CPGE 1ère année dans le cas $\displaystyle p=\frac{1}{2}$.

On pose $Z_n=\displaystyle \frac{X_n-np}{\sqrt{n/4}}=\frac{2}{\sqrt{n}}\left(X_n-\frac{n}{2}\right)$.
Puisque $X_n(\Omega)=\lc0,n\rc$, on a $Z_n(\Omega)=\displaystyle \bigg\{t_k=\frac{2}{\sqrt{n}}\left(k-\frac{n}{2}\right)\, \bigg\vert \, k\in\lc0,n\rc \bigg\}$.
Les réels $-\sqrt{n}=t_0<t_1<\dots<t_n=\sqrt{n}$ forment une subdivision régulière de l'intervalle $[-\sqrt{n},\sqrt{n}]$, de pas $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{n}}$.
On définit une fonction en escalier $f_n:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ par : $$\forall t\in\mathbb{R},\quad f_n(t) = \sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{2}\mathbb{P}(S_n=k)\mathbf{1}_{\big[t_k-1/\sqrt{n},t_k+1/\sqrt{n}\big]} (t)$$

Lemme 1.

On pose $k_a=\displaystyle \min\big\{ k\in\lc0,n \rc \, \big\vert \, t_k\in[a,b]\big\}$, $k_b=\displaystyle \max\big\{ k\in\lc0,n \rc \, \big\vert \, t_k\in[a,b]\big\}$, $a_n=\displaystyle t_{k_a} -\frac{1}{\sqrt{n}}$ et $b_n=\displaystyle t_{k_b} +\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Alors : $$\mathbb{P}\big(Z_n\in[a,b]\big)=\int_{a_n}^{b_n} f_n(t)\,{\rm d}t$$

PREUVE DU LEMME 1 [ afficher/masquer ]

L'idée est alors de montrer que lorsque $n$ est grand, $\displaystyle\int_{a_n}^{b_n} f_n(t)\,{\rm d}t$ est proche de $\displaystyle\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t$, où $\varphi(t)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac{t^2}{2}}$.
L'inégalité triangulaire et le lemme $1$ donnent : $$\begin{array}{cl}&\Bigg| \mathbb{P}\big(Z_n\in[a,b]\big)-\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg|\\ \leq&\displaystyle \Bigg| \int_{a_n}^{b_n} f_n(t)\,{\rm d}t-\int_{a_n}^{b_n} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg| +\Bigg| \int_{a_n}^{b_n} \varphi(t)\,{\rm d}t-\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg| =M_1+M_2\qquad(1)\end{array}$$ où la définition de $M_1$ et $M_2$ est évidente.

Pour continuer nous avons besoin de plusieurs lemmes techniques.


Lemme 2. Estimations de $a_n$ et $b_n$.

On pose $c=\max(|a|,|b|)$.
Alors si $n>c^2$, on a $\displaystyle |a_n-a|\leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ et $\displaystyle|b_n-b|\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$.

PREUVE DU LEMME 2 [ afficher/masquer ]

L'idée est alors de montrer que lorsque $n$ est grand, $\displaystyle\int_{a_n}^{b_n} f_n(t)\,{\rm d}t$ est proche de $\displaystyle\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t$, où $\varphi(t)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac{t^2}{2}}$.
L'inégalité triangulaire et le lemme $1$ donnent : $$\begin{array}{cl}&\Bigg| \mathbb{P}\big(Z_n\in[a,b]\big)-\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg|\\ \leq&\displaystyle \Bigg| \int_{a_n}^{b_n} f_n(t)\,{\rm d}t-\int_{a_n}^{b_n} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg| +\Bigg| \int_{a_n}^{b_n} \varphi(t)\,{\rm d}t-\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg| =M_1+M_2\qquad(1)\end{array}$$ où la définition de $M_1$ et $M_2$ est évidente.

Pour continuer nous avons besoin de plusieurs lemmes techniques.


Lemme 3. Estimation de $f_n(t)$.

Il existe $D>0$ telle que, si $n>4c^2$ : $$\forall t\in [a_n,b_n],\quad \big| f_n(t) - \varphi(t) \big|\leq \frac{D}{\sqrt{n}} $$

PREUVE DU LEMME 3 [ afficher/masquer ]


Nous pouvons maintenant revenir à l'inégalité $(1)$.
Le lemme $3$ donne que : $$ M_1 \leq \int_{a_n}^{b_n}\big|f_n(t) - \varphi(t)\big| {\rm d}t\leq \int_{a_n}^{b_n} \frac{D}{\sqrt{n}}\,{\rm d}t\leq \frac{D(b-a+2)}{\sqrt{n}}$$ et en utilisant que $\forall t\in\mathbb{R}$, $\displaystyle |\varphi(t)|\leq\frac{1}{2}$ : $$M_2\leq \int_{a_n}^{b_n} \big|\varphi(t)\big|\,{\rm d}t+\int_{a}^{b} \big|\varphi(t)\big|\,{\rm d}t\leq \frac{|a-a_n|}{2}+\frac{|b-b_n|}{2}$$ et donc d'après le lemme $2$ : $$M_2\leq\frac{1}{2\sqrt{n}}+\frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$$ On a donc : $$\Bigg| \mathbb{P}\big(Z_n\in[a,b]\big)-\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t\Bigg| \leq\frac{D(b-a+2)+1}{\sqrt{n}}$$ Le théorème des gendarmes permet alors de conclure que : $$\lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}\big(Z_n\in[a,b]\big)=\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\rm d}t$$


Author: Arnaud Bégyn

Created: 2024-08-14 mer. 23:49

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