- Problème du prince de Toscane. Le Prince de Toscane demande à Galilée pourquoi, en lançant trois dés, on obtient plus souvent un total de 10 qu'un total de 9, alors qu'il y a dans les deux cas exactement 6 façons d'obtenir ces résultats.
Solution. Pourtant, il y a six façons d'obtenir $9$:
$$\{6,2,1\}\quad \{5,3,1\}\quad \{5,2,2\}\quad \{4,4,1\}\quad \{4,3,2\}\quad \{3,3,3\}$$
et six façons d'obtenir $10$:
$$\{6,3,1\}\quad\{6,2,2\}\quad\{5,4,1\}\quad \{5,3,2\}\quad \{4,4,2\}\quad \{4,3,3\}$$
Pour modéliser la situation, numérotons les dés. Un lancer correspond donc à un triplet de chiffres entre 1 et 6 et l'univers $\Omega$ est: $\Omega=[\![1,6]\!]$.
Au total, il y a donc $6^3$ lancers possibles.
Il y a $3!$ triplets donnant les chiffres $\{6,2,1\}$, et autant pour les chiffres $\{5,3,1\}$ et $\{4,3,2\}$. Pour $\{5,2,2\}$, le chiffre 2 apparaît deux fois : il y a donc $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ triplets donnant les chiffres $\{5,2,2\}$,et autant pour les chiffres $\{4,4,1\}$. Enfin il y a un unique triplet donnat les chiffres $\{3,3,3\}$.
Au total, on a a donc $6+6+6+3+3+1=25$ triplets donnant un total de $9$. Comme tous les triplets sont équiprobables, la probabilité d'obtenir un total $9$ est $\displaystyle\frac{25}{6^3}$.
Un calcul similaire permet d'obtenir que la probabilité d'obtenir un total de $10$ est $\displaystyle\frac{6+6+6+3+3+3}{6^3}=\frac{27}{6^3}$.
Comme $27>25$, on a donc bien démontré qu'on obtient plus souvent un total de $10$ qu'un total de $9$.
- Problème du chevalier de Méré. Le Chevalier de Méré soutient à Pascal que les deux jeux suivants sont favorables au joueur: obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois de suite un dé, et obtenir au moins un double 6 en lançant 24 fois de suite 2 dés. Qu'en est-il vraiment?
Solution. Pour le vérifier, calculons la probabilité de l'évènement contraire de "obtenir au moins un six". Il s'agit de l'évènement "n' obtenir aucun six".
Par indépendance des résultats obtenus à chacun des 4 lancers, la probabilité de "n' obtenir aucun six" est $\displaystyle\left(\frac{5}{6}\right)^4$, et donc la probabilité "d' obtenir au moins un six" est $\displaystyle 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4>\frac{1}{2}$.
Le premier jeu du Chevalier de Méré est donc favorable au joueur.
Adaptons la méthode précédente pour le deuxième jeu: calculons la probabilité de l'évènement contraire de "obtenir au moins un double six". Il s'agit de l'évènement "n' obtenir aucun double six".
Par indépendance des résultats obtenus à chacun des $4$ lancers, la probabilité de "n' obtenir aucun double six" est $\displaystyle\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ donc la probabilité "d' obtenir au moins un six" est $\displaystyle 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}<\frac{1}{2}$.
Le second jeu du Chevalier de Méré est donc défavorable au joueur.