Thèmes: Variables aléatoires - Loi - Espérance
Nous allons donner une nouvelle formule permettant de calculer l'espérance d'une variable discrète finie.
- Espérance et fonction d'antirépartition. Soient $N\in\N^*$ et $X$ une VARD finie à valeurs dans $\lc0;N\rc$. On a alors:
$$\E(X)=\sum_{k=0}^{N-1}\p(X>k)$$
Preuve. Pour $k\in\lc0;N-1\rc$, on a $[X>k]=\dbigcup_{j=k+1}^{N}[X=j]$. Comme les évènements composant cette union sont deux à deux incompatibles, on a par additivité de $\p$:
$$ \p(X>k)= \sum_{j=k+1}^N \p(X=j) $$
On en déduit:
$$\sum_{k=0}^{N-1} \p(X>k)=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{j=k+1}^N\p(X=j)\right)$$
donc d'après le théorème de Fubini pour les sommes finies:
$$ \sum_{k=0}^{N-1}\p(X>k) = \sum_{j=1}^N\left(\sum_{k=0}^{j-1} \p(X=j)\right) = \sum_{j=1}^N j\p(X=j) =\sum_{j=0}^N j\p(X=j)=\E(X) $$
- Une application. On effectue des tirages d'une boule avec remise dans une urne de $N$ boules numérotées de $1$ à $N$. On arrête les tirages lorsque le numéro de
la boule tirée est supérieur ou égal au numéro de la boule obtenue au précédent tirage. On note $X_N$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Déterminer $X_N(\Omega)$ puis $\E(X_N)$. Calculer $\dlim_{N\to+\infty}\E(X_N)$.
Solution. Au minimum on effectue deux tirages. Au maximum, on obtient des numéros dans l'ordre strictement décroissant puis n'importe quel autre numéro, ce qui fait au pire $N+1$ tirages.
On a donc $X_N(\Omega)=\lc2;N+1\rc$. Donc $X_N$ est une VARD finie à valeurs dans $\lc0;N+1\rc$.
Si $k\in\lc2;N+1\rc$, $[X_N>k]$ est l'évènement "les $k$ premiers tirages ont donné des numéros dans l'ordre strictement décroissant".
Il y a $N^k$ façons d'effectuer les $k$ premiers tirages et par mi ceux-ci il y en a $\dbin{N}{k}$ dont les numéros sont dans l'ordre strictement décroissant (on choisit simultanément ces $k$ numéros distincts et il y a ensuite une seule façon de les ordonner dans l'ordre voulu), donc:
$$\p(X_N>k)=\dfrac{\dbin{N}{k}}{N^k}$$
On a aussi $\p(X>0)=\p(X>1)=1$, donc la formule précédente est valable pour $k=0$ et $k=1$. Ainsi:
$$\E(X_N)=\sum_{k=0}^{(N+1)-1}\p(X>k) = \sum_{k=0}^{N} \dfrac{\dbin{N}{k}}{N^k} = \sum_{k=0}^{N} \dbin{N}{k}\left(\frac{1}{N}\right)^k = \left(\frac{1}{N}+1\right)^N $$
On a doc: $\dlim_{N\to+\infty} \E(X_N)={\rm e}$.